用RSA对下列数据实现加密和解密:

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问题描述:

用RSA对下列数据实现加密和解密:

a. p=3,q=11,e=7M=5

b. p=7,q=11,e=3M=9

解析:

拜托:老大,你的家庭作业也来问?

你自己学吧:下面是课文^

RSA加密算法

该算法于1977年由美国麻省理工学院MIT(Massachusetts Institute of Technology)的Ronal Rivest，Adi Shamir和Len Adleman三位年轻教授提出，并以三人的姓氏Rivest，Shamir和Adlernan命名为RSA算法。该算法利用了数论领域的一个事实，那就是虽然把两个大质数相乘生成一个合数是件十分容易的事情，但要把一个合数分解为两个质数却十分困难。合数分解问题目前仍然是数学领域尚未解决的一大难题，至今没有任何高效的分解方法。与Diffie-Hellman算法相比，RSA算法具有明显的优越性，因为它无须收发双方同时参与加密过程，且非常适合于电子函件系统的加密。

RSA算法可以表述如下：

(1) 密钥配制。假设m是想要传送的报文，现任选两个很大的质数p与q，使得：

(12-1)；

选择正整数e，使得e与(p－1)(q－1)互质；这里(p－1)(q－1)表示二者相乘。再利用辗转相除法，求得d，使得：

(12-2)；

其中x mod y是整数求余运算，其结果是x整除以y后剩余的余数，如5 mod 3 = 2。

这样得：

(e，n)，是用于加密的公共密钥，可以公开出去；以及

(d，n)，是用于解密的专用钥匙，必须保密。

(2) 加密过程。使用(e，n)对明文m进行加密，算法为：

(12-3)；

这里的c即是m加密后的密文。

(3) 解密过程。使用(d，n)对密文c进行解密，算法为：

(12-4)；

求得的m即为对应于密文c的明文。

RSA算法实现起来十分简捷，据说英国的一位程序员只用了3行Perl程序便实现了加密和解密运算。

RSA算法建立在正整数求余运算基础之上，同时还保持了指数运算的性质，这一点我们不难证明。例如：

(12-5)；

(12-6)。

RSA公共密钥加密算法的核心是欧拉(Euler)函数ψ。对于正整数n，ψ(n)定义为小于n且与n互质的正整数的个数。例如ψ(6) = 2，这是因为小于6且与6互质的数有1和5共两个数；再如ψ(7) = 6，这是因为互质数有1，2，3，5，6共6个。

欧拉在公元前300多年就发现了ψ函数的一个十分有趣的性质，那就是对于任意小于n且与n互质的正整数m，总有mψ(n) mod n = 1。例如，5ψ(6) mod 6 = 52 mod 6= 25 mod 6 =1。也就是说，在对n求余的运算下，ψ(n)指数具有周期性。

当n很小时，计算ψ(n)并不难，使用穷举法即可求出；但当n很大时，计算ψ(n)就十分困难了，其运算量与判断n是否为质数的情况相当。不过在特殊情况下，利用ψ函数的两个性质，可以极大地减少运算量。

性质1：如果p是质数，则ψ(p) = (p－1)。

性质2：如果p与q均为质数，则ψ(p·q) = ψ(p)·ψ(q) = (p－1)(q－1)。

RSA算法正是注意到这两条性质来设计公共密钥加密系统的，p与q的乘积n可以作为公共密钥公布出来，而n的因子p和q则包含在专用密钥中，可以用来解密。如果解密需要用到ψ(n)，收信方由于知道因子p和q，可以方便地算出ψ(n) = (p－1)(q－1)。如果窃听者窃得了n，但由于不知道它的因子p与q，则很难求出ψ(n)。这时，窃听者要么强行算出ψ(n)，要么对n进行因数分解求得p与q。然而，我们知道，在大数范围内作合数分解是十分困难的，因此窃密者很难成功。

有了关于ψ函数的认识，我们再来分析RSA算法的工作原理：

(1) 密钥配制。设m是要加密的信息，任选两个大质数p与q，使得 ；选择正整数e，使得e与ψ(n) = (p－1)(q－1)互质。

利用辗转相除法，计算d，使得ed mod ψ(n) = ，即ed = kψ(n) +1，其中k为某一正整数。

公共密钥为(e，n)，其中没有包含任何有关n的因子p和q的信息。

专用密钥为(d，n)，其中d隐含有因子p和q的信息。

(2) 加密过程。使用公式(12-3)对明文m进行加密，得密文c。

(3) 解密过程。使用(d，n)对密文c进行解密，计算过程为：

cd mod n = (me mod n)d mod n

= med mod n

= m(kψ(n) + 1) mod n

= (mkψ(n) mod n)·(m mod n)

= m

m即为从密文c中恢复出来的明文。

例如，假设我们需要加密的明文代码信息为m = 14，则：

选择e = 3，p = 5，q = 11；

计算出n = p·q = 55，(p－1)(q－1) = 40，d = 27；

可以验证：(e·d) mod (p－1)(q－1) = 81 mod 40 = 1；

加密：c = me mod n = 143 mod 55 = 49；

解密：m = cd mod n = 4927 mod 55 = 14。

关于RSA算法，还有几点需要进一步说明：

(1) 之所以要求e与(p－1)(q－1)互质，是为了保证 ed mod (p－1)(q－1)有解。

(2) 实际 *** 作时，通常先选定e，再找出并确定质数p和q，使得计算出d后它们能满足公式(12-3)。常用的e有3和65537，这两个数都是费马序列中的数。费马序列是以17世纪法国数学家费马命名的序列。

(3) 破密者主要通过将n分解成p·q的办法来解密，不过目前还没有办法证明这是唯一的办法，也可能有更有效的方法，因为因数分解问题毕竟是一个不断发展的领域，自从RSA算法发明以来，人们已经发现了不少有效的因数分解方法，在一定程度上降低了破译RSA算法的难度，但至今还没有出现动摇RSA算法根基的方法。

(4) 在RSA算法中，n的长度是控制该算法可靠性的重要因素。目前129位、甚至155位的RSA加密勉强可解，但目前大多数加密程序均采用231、308甚至616位的RSA算法，因此RSA加密还是相当安全的。

据专家测算，攻破512位密钥RSA算法大约需要8个月时间；而一个768位密钥RSA算法在2004年之前无法攻破。现在，在技术上还无法预测攻破具有2048位密钥的RSA加密算法需要多少时间。美国Lotus公司悬赏1亿美元，奖励能破译其Domino产品中1024位密钥的RSA算法的人。从这个意义上说，遵照SET协议开发的电子商务系统是绝对安全的。

RSA算法它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和 *** 作，也很流行。算法的名字以发明者的名字

命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard

Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。

一、RSA算法 :

首先, 找出三个数, p, q, r,

其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数

p, q, r 这三个数便是 private key

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)

这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了

再来, 计算 n = pq

m, n 这两个数便是 public key

编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a <n

如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),

则每一位数均小於 n, 然後分段编码

接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b <n),

b 就是编码後的资料

解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c <pq),

於是乎, 解码完毕 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)

如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b

他如果要解码的话, 必须想办法得到 r

所以, 他必须先对 n 作质因数分解

要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,

使第三者作因数分解时发生困难

<定理>

若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),

a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,

则 c == a mod pq

证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:

m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m

(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)

运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的

<证明>

因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数

因为在 modulo 中是 preserve 乘法的

(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),

所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,

则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p

a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q

所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1

即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq

=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,

则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)

=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q

=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q

=> q | c - a

因 p | a

=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p

=> p | c - a

所以, pq | c - a => c == a mod pq

3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上

4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,

则 pq | a

=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq

=> pq | c - a

=> c == a mod pq

Q.E.D.

这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)

但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a <n, 0 <= c <n,

所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能

二、RSA 的安全性

RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解

RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA

的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n

必须选大一些，因具体适用情况而定。

三、RSA的速度

由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。

四、RSA的选择密文攻击

RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装( Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公

钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用

One-Way HashFunction 对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方法。

五、RSA的公共模数攻击

若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足：

r * e1 + s * e2 = 1

假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。

RSA的小指数攻击。 有一种提高 RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有

所提高。但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。

RSA算法是

第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和 *** 作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人

们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA

的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能

如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。

RSA的缺点主要有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600

bits

以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目

前，SET( Secure Electronic Transaction )协议中要求CA采用比特长的密钥，其他实体使用比特的密钥。

C语言实现

#include <stdio.h>

int candp(int a,int b,int c)

{ int r=1

b=b+1

while(b!=1)

{

r=r*a

r=r%c

b--

}

printf("%d\n",r)

return r

}

void main()

{

int p,q,e,d,m,n,t,c,r

char s

printf("please input the p,q: ")

scanf("%d%d",&p,&q)

n=p*q

printf("the n is %3d\n",n)

t=(p-1)*(q-1)

printf("the t is %3d\n",t)

printf("please input the e: ")

scanf("%d",&e)

if(e<1||e>t)

{

printf("e is error,please input again: ")

scanf("%d",&e)

}

d=1

while(((e*d)%t)!=1) d++

printf("then caculate out that the d is %d\n",d)

printf("the cipher please input 1\n")

printf("the plain please input 2\n")

scanf("%d",&r)

switch(r)

{

case 1: printf("input the m: ")/*输入要加密的明文数字*/

scanf("%d",&m)

c=candp(m,e,n)

printf("the cipher is %d\n",c)break

case 2: printf("input the c: ")/*输入要解密的密文数字*/

scanf("%d",&c)

m=candp(c,d,n)

printf("the cipher is %d\n",m)break

}

getch()

}

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