急求dijkstra算法的程序

算法基本思想

　设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V-S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。

①初始化

　初始化时，只有源点s的最短距离是已知的(SD(s)=0)，故红点集S={s}，蓝点集为空。

②重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径

　在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证算法按路径长度递增的次序产生各顶点的最短路径。

　当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。

注意：

　①若从源点到蓝点的路径不存在，则可假设该蓝点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。

　②从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径；s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，并记为SD(v)。

（3）在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集

　根据按长度递增序产生最短路径的思想，当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是：

　源点，红点1，红点2，…，红点n，蓝点k

距离为：源点到红点n最短距离+<红点n,蓝点k>边长

　为求解方便，设置一个向量D[0．．n-1]，对于每个蓝点v∈

V-S，用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点(若有中间点，则必为红点)的"最短"路径长度（简称估计距离）。

　若k是蓝点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距离，即若D[k]=min{D[i]

i∈V-S}，则D[k]=SD(k)。

　初始时，每个蓝点v的D[c]值应为权w<s，v>，且从s到v的路径上没有中间点，因为该路径仅含一条边<s，v>。

注意：

　在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键

（4）k扩充红点集s后，蓝点集估计距离的修改

　将k扩充到红点后，剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小，此时必须调整相应蓝点的估计距离。

　对于任意的蓝点j，若k由蓝变红后使D[j]变小，则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径：P=<s，…，k，j>。且D[j]减小的新路径P只可能是由于路径<s，…，k>和边<k，j>组成。

　所以，当length(P)=D[k]+w<k，j>小于D[j]时，应该用P的长度来修改D[j]的值。

（5）Dijkstra算法

Dijkstra(G，D，s){

//用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度

//以下是初始化 *** 作

S={s}；D[s]=0；

//设置初始的红点集及最短距离

for(

all

i∈

V-S

)do

//对蓝点集中每个顶点i

D[i]=G[s][i]；

//设置i初始的估计距离为w<s，i>

//以下是扩充红点集

for(i=0i<n-1i++)do{//最多扩充n-1个蓝点到红点集

D[k]=min{D[i]：all

i

V-S}；

//在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k

if(D[k]等于∞)

return；

//蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时，

//表示这些顶点的最短路径不存在。

S=S∪{k}；

//将蓝点k涂红后扩充到红点集

for(

all

j∈V-S

)do

//调整剩余蓝点的估计距离

if(D[j]>D[k]+G[k][j])

//新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]，

//使j离s更近。

D[j]=D[k]+G[k][j]；

}

}

Dijkstra算法设置一个集合S记录已求得的最短路径的顶点，初始时把源点v0放入S，集合S每并入一个新顶点vi，都要修改源点v0到集合V-S中顶点当前的最短路径长度值。

本例基于邻接矩阵存储的图。

在构造的过程中要设置三个辅助数组：

假设从顶点0出发，即v0=0，集合S最初只包含顶点0，邻接矩阵 edge[][] 表示带权有向图， edge[i][j] 表示有向边<i,j>的权值，若不存在有向边<i,j>，则 edge[i][j] 为∞。

Dijkstra算法的步骤如下：

顶点数：5，弧数：10

顶点编号：A B C D E

邻接矩阵：

参考结果：

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