Mann-Kendall趋势检验算法

Mann-Kendall检验 是一种非参数检验（无分布检验），其优点是不要求样本遵从一定的分布，也不受少数异常值的干扰。常用于对降水、径流、气温和水质等要素时间序列 变化趋势 和 突变点 分析。

在双边趋势检验中，对于给定的置信水平（显著性水平）α，若|Z|≥Z 1-α/2 ，则原假设H 0 是不可接受的，即在置信水平α（显著性检验水平）上，时间序列数据存在明显的上升或下降趋势。Z为正值表示上升趋势，负值表示减少趋势，Z的绝对值在大于等于1.645，1.96，2.576时表示分别通过了置信度90%，95%，99%的显著性检验。计算过程：以α=0.1为例，Z 1-α/2 =Z 0.95 ，查询标准正态分布表Z 0.95 =1.645，故Z≥1.645时通过90%的显著性检验，H 0 假设不成立，Z>0，序列存在上升趋势。

其中UB 1 =0。UB k 不是简单的等于UF k 负值，而是进行了倒置再取负，此处UF k 是根据反序列算出来的。

给定显著性水平，若α=0.05，那么临界值为±1.96，绘制UFk和UBk曲线图和±1.96俩条直线再一张图上，若UFk得值大于0，则表明序列呈现上升趋势，小于0则表明呈现下降趋势，当它们超过临界直线时，表明上升或下降趋势显著。超过临界线的范围确定为出现突变的时间区域。如果UFk和UBk两条曲线出现交点，且交点在临界线内，那么交点对应的时刻便是突变开始的时间。

利用经典数据：用Mann-Kendall法检测1900-1990年上海年平均气温序列，给出趋势及突变点分析，给定的显著性水平α=0.05，即U 0.05 =±1.96。

1、设原始时间序列为y1，y2，…，yn，mi表示第i个样本yi大于yj（1≤j≤i）的累积数，定义统计量：

2、在原序列随机独立等假设下，dk的均值和方差分别为：

3、将上面公式的dk标准化，得：

4、UFk组成一条UF曲线，通过信度检验可得出其是否有明显的变化趋势。

5、把此方法引用到反序列中，计算得到另一条曲线UB，则两条曲线在置信区间内的交点确定为突变点。

6、给定显著性水平α=0.05，则统计量UF和UB的临界值为±1.96。UF>0，表示序列呈上升趋势；反之，表明呈下降趋势，大于或小于±1.96，表示上升或下降趋势明显。

mk检验是曼－肯德尔法，又称Mann—Kenddall 检验法，是一种气候诊断与预测技术，应用Mann-Kendall检验法可以判断气候序列中是否存在气候突变，如果存在，可确定出突变发生的时间。Mann-Kendall检验法也经常用于气候变化影响下的降水、干旱频次趋势检测。

由于最初由曼(H.B.Mann)和肯德尔(M.G.Kendall)提出了原理并发展了这一方法，故称其为曼—肯德尔 (Man-Kendall)法。

扩展资料：

计算方法：

对于具有n个样本量的时间序列X，构造一秩序列：

可见，秩序列sk是第i时刻数值大于j时刻数值个数的累计数。在时间序列随机独立的假定下，定义统计量：

式中UF1=0，E(sk)，Var(sk)是累计数sk的均值和方差，在x1,x2,…,xn相互独立，且有相同连续分布时，它们可由下式算出：

UFi为标准正态分布，它是按时间序列x顺序x1,x2,…,xn计算出的统计量序列，给定显著性水平α，查正态分布表，若|UFi|>Ua，则表明序列存在明显的趋势变化。

按时间序列x逆序xn,xn-1,…,x1，再重复上述过程，同时使UBk=–UFk，k=n,n–1,…,1)，UB1=0。这一方法的优点在于不仅计算简便，而且可以明确突变开始的时间，并指出突变区域。因此，是一种常用的突变检测方法。

参考资料来源：百度百科-曼－肯德尔法

---