分数阶微积分的定义

关于分数阶导数的定义，许多数学家各自从不同角度入手，给分数阶导数分别以不同的定义。其定义的合理性与科学性已在实践中得以检验。这个数学分支的发展已在实际问题中，得到了广泛的应用。本文这部分重点将分析各种不同的定义，也说明各种定义之间的区别与联系。为了区分整数阶导数的表示形式，对于分数阶的导数，本文引入新的记号（下文Riemann-Liouville积分中表示阶积分，在此申明以防混淆）。

3.1Riemann-Liouville定义及性质

下面先阐述在研究中应用得比较广泛的一种分数阶导数的定义：Riemann-Liouville分数阶导数。在定义分数阶导数之前，先来阐述下Riemann-Liouville分数阶微积分。

3.1.1Riemann-Liouville定义

定义 设在上逐段连续，且在的任何有限子区间上可积，对，称

⑴

为函数的阶Riemann-Liouville积分（简称R-L积分），并且记为。其中为Gamma函数。

结合上面的阶Riemann-Liouville分数阶积分的定义以及经典微积分中的整数阶微积分可以给出如下的阶Riemann-Liouville分数阶微分的定义：

定义 设，，是大于或等于的最小正整数（），记。则称

⑵

为函数的阶Riemann-Liouville微分核桥樱。

应用定义1可得阶Riemann-Liouville微分如下：

3.1.2Riemann-Liouville分数阶导数的性质

设，是满足定义1的函数，为任一常数，为分数，，则有文献【1】得到以下两条线性的性质：

性质1：

性质2：

3.2分数阶导数的级数定义

分数阶导数的级数定义又称为Grunwald-Letnikov定义。我们先来看整数阶导数的定义。

一阶导数的定义：

⑷

二阶导数的定义：

(5)

通过选择相同变量h，令，则⑸式等价于

⑹

那么对于阶导数来说就是以下的⑺式：

(7)

从⑺式整数阶的导数我们可以从形式上得到分数阶导数的级数定义。从形式上式⑺中的可以推广到非整数，组合数可以用Gamma函消答数来描述。而求和的上限（并非整数）也变成是（其中和分别是改丛微分的上极限和下极限）。所以我们得到了用级数定义的分数阶导数（如下⑻式），又称the Grunwald-Letnikov fractional derivative。

定义3

在具有阶连续导数，并且至少取的条件下，Riemann-Liouville定义与Grunwald-Letnikov定义等价。所以由⑺到⑻的推广也是合理的。

3.3分数阶导数的Caputo定义

定义4对于正的非整数（在阶数为负实数时，Caputo定义与Riemann-Liouville定义等价），，，是大于或等于的最小正整数（）。则称

为函数的阶Caputo分数导数。

3.4三种分数阶导数定义的关系

Riemann-Liouville定义是Grunwald-Letnikov定义的扩充，其应用范围也就更广泛。与Grunwald-Letnikov定义扩展到Riemann-Liouville定义的思维方式相似，Caputo定义也是对Grunwald-Letnikov定义的另一种改进。对于函数的正的非整数阶导数，先进行阶导数，再进行阶积分。

Riemann-Liouville定义与Caputo定义都是对Grunwald-Letnikov定义的改进。在阶数为负实数和正整数时，它们是等价的。由文献【15】分析可知，在条件：⑴函数有阶连续导数，至少取。⑵之下，它们也是等价的。否则，它们不等价。引入Riemann-Liouville定义，可以简化分数阶导数的计算；引入Caputo定义，让其拉普拉斯变换式更简洁，有利于分数阶微分方程的讨论。

现实应用中，具体使用哪一个分数阶导数的定义，还是要看具体的情况而定。

近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理、软物质研究、地震分析、粘d性阻尼器、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID控制器设计察侍。但是由于分数阶微积分具有历史依赖性与全域相关性，增加了分数阶导数方程的数值计算复杂性。

在数值算法方面主要存在的问题有：⑴长时间历程问题一直没有找到一个满意的解决途径，在数值模拟中，随着时间历程的增加计算量成指数增长。同时一些学者提出的短期记忆方法只对很少一些情况有效，并不具有普适性。因而长时间历程问题的解决任重道远。⑵在原有算法基础上开发出时间－空间混合的分数阶导数方程的算法和软件。一种数学工具要在工程中有广泛的应用，那么就必须有成熟的算法与软件，像有限元的计算模拟软件就有很多，所以有限元才能在工程界有如此广泛的应用。⑶分数阶导数的定义还不完善，现在分数阶导数的定义有多种，至今还没有一个完善到大多数学者能够接受败谈吵的定义。

现阶段，分数阶导数方程的数值算法主要包括：⑴有限差分法：显示格式，隐式格式，Crank-Nicholson格式，预估校正算法，线性算法等；⑵级数逼近法：变分迭代法，Adomian分解法，同伦摄动法，侍旁通论分析法，微分转换法等；⑶有限元法；⑷无网格方法；⑸一些新的算法：矩阵转化法，外推法等。

以上这些数值算法各有优缺点，不同的条件与方程适用于不同的算法，这需要我们对各种方法比较熟悉，能够比较灵活的应用。否则很容易得到错误的计算结果。另外一个难点是在数值计算中使用哪一个分数阶导数的定义，这就涉及到定义的选择问题。根据大量文献参考后，一般在时间分数阶导数的计算中一般使用Caputo定义，在空间分数阶导数方程的数值计算中较多的使用Riemann-Liouville定义和级数定义。