对流扩散方程的概述

对流扩散方程表征了流动系统的质量传递规律，求解此方程可得出浓度分布。此方程系通过对系统中某空间微元体进行物料衡算而得。对于双组分系统，A组分流入某微元体的量，加上在此微元体内因化学反应生成的量，减去其流出量伏锋,即为此微元体中组分A的积累量。考虑到组分A进入和离开微元体均由扩散和对流两种作用造成,而扩散通量是用斐旦饥克定律（见分子扩散）表述的，于是可得如下的对流扩散方程：

式中DAB为组分A在组分B中缺迟晌的分子扩散系数rA为单位时间单位体积空间内因化学反应生成组分A的量CA为组分A的质量浓度；τ为时间；ux、uy和uz分别为流速u的三个分量。上述方程表明，传质与流动密切相关；只有解得速度分布之后，才能从对流扩散方程解得浓度分布，进而求得传质通量。

瞬时源一维非稳态对流扩散的初始与边界条件如下：

1）初始条件：c（z，0）=0（z≠0，t=0）；

2）无限远边界条件：c（∞，t）=0（z=∞，t≥0）；

3）羡并初始边界条件：c（0，t）=cδδ（t）（z=0，t≥0）。

利用拉普拉斯变换法解方程（8—14），分为三个步骤：

第一步，对方程（8—14）两边进行关于t的拉普拉斯变换，左边：

L（ ）=pCL（z，p）—c（z，0），代入初始条件c（z，0）=0，变换结果为pCL（z，p）；右边两项不是关于t的导数，变换结果将浓度c 写为CL（z，p）即可，方程（8—14）变换后成为像空间中的像方程：

水文地球化学基础

再对边界条件作变换，成为在像空间中可利用的边界条件，变换后为：CL（∞，p）=0（z=∞，p≥0）；CL（0，p）=cδ（z=0，p≥0）。

第二步，在像空间中解像方程，为关于z的戚派枣齐次二阶常微分方程，用特征方程法解。解Dλ2—uλ—p=0，得两个特征值，分别为： ；考虑无限远边界条件，应当将像方程的解写为： ；由初始边界条件可得，B=cδ；至此已得到像空间中方程的解为：

水文地球化学基础

第三步，将像空间的解逆变换，即得到瞬时源对高拆流扩散方程（8—14）的解：

水文地球化学基础

源强度cδ=M/A=10g/m2，对流速度u=0.001m/d，扩散系数D=1.3×10—4m2/d，以无量纲的数值计算，结果如图8—10所示。

图8—10 对流扩散方程解的图形

cδ=10mg/L；u=0.001m/d；D=1.3×10—4m2/d

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