如何用matlab求解二阶微分方程，以及程序实例

1、对于求数值解的微分方程，你可以用ode45()函数求解。如求下列微分方程

func。m   %自定义微分方程的函数

function z = func(t,y)

z =[y(2)(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]

main。m  %主程序

clear allclose allclc

y0 = [0.250]

h = 0.1

a = 0

b = 20

[t1 y1] = ode45(@func,y0,h,a,b)

2、对于求解析解的微分方程，你可以用dsolve()函数求解。如求微分方程x*y''+x﹡(y'宴脊行野改)^2-y'晌哗=0的解析解,可以下列步骤计算

>>syms y(x)

>>Dy = diff(y)；D2y = diff(y, 2)；

>>dsolve(x*D2y+x*(Dy)^2-Dy==0,'x')

也是自己找来的，原代码有少许错误，本人都已更正了，调试运行都通过了的。

对于初学者，尤其是还没有编程经验的非常有用的一个文件

遗传算法实例

% 下面举例说明遗传算法 %

% 求下列函数的最大值 %

% f(x)=10*sin(5x)+7*cos(4x) x∈[0,10] %

% 将 x 的值用一个10位的二值形式表示为二值问题，一个10位的二值数岩凳旁提供的分辨率是每为 (10-0)/(2^10-1)≈0.01 。 %

% 将变量域 [0,10] 离散化为二值域 [0,1023], x=0+10*b/1023, 其中 b 是 [0,1023] 中的一个二值数。 %

% %

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------%

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------%

% 编程

%-----------------------------------------------

% 2.1初始化(编码)

% initpop.m函数的功能是实现群体的初始化，popsize表示群体的大小，chromlength表示染色体的长度(二值数的长度)，

% 长度大小取决于变量的二进制编码的长度(在本例中取10位)。

%遗传算法粗橡子程序

%Name: initpop.m

%初始化

function pop=initpop(popsize,chromlength)

pop=round(rand(popsize,chromlength))% rand随机产生每个单元为 {0,1} 行数为popsize，列数为chromlength的矩阵，

% roud对矩阵的每个单元进行圆整。这样产生的初始种群。

% 2.2 计算目标函数值

% 2.2.1 将二进制数转化为十进制数(1)

%遗传算法子程序

%Name: decodebinary.m

%产生 [2^n 2^(n-1) ... 1] 的行向量，然后求和，将二进制粗姿转化为十进制

function pop2=decodebinary(pop)

[px,py]=size(pop)%求pop行和列数

for i=1:py

pop1(:,i)=2.^(py-i).*pop(:,i)

end

pop2=sum(pop1,2)%求pop1的每行之和

% 2.2.2 将二进制编码转化为十进制数(2)

% decodechrom.m函数的功能是将染色体(或二进制编码)转换为十进制，参数spoint表示待解码的二进制串的起始位置

% (对于多个变量而言，如有两个变量，采用20为表示，每个变量10为，则第一个变量从1开始，另一个变量从11开始。本例为1)，

% 参数1ength表示所截取的长度（本例为10）。

%遗传算法子程序

%Name: decodechrom.m

%将二进制编码转换成十进制

function pop2=decodechrom(pop,spoint,length)

pop1=pop(:,spoint:spoint+length-1)

pop2=decodebinary(pop1)

% 2.2.3 计算目标函数值

% calobjvalue.m函数的功能是实现目标函数的计算，其公式采用本文示例仿真，可根据不同优化问题予以修改。

%遗传算法子程序

%Name: calobjvalue.m

%实现目标函数的计算

function [objvalue]=calobjvalue(pop)

temp1=decodechrom(pop,1,10)%将pop每行转化成十进制数

x=temp1*10/1023%将二值域 中的数转化为变量域 的数

objvalue=10*sin(5*x)+7*cos(4*x)%计算目标函数值

% 2.3 计算个体的适应值

%遗传算法子程序

%Name:calfitvalue.m

%计算个体的适应值

function fitvalue=calfitvalue(objvalue)

global Cmin

Cmin=0

[px,py]=size(objvalue)

for i=1:px

if objvalue(i)+Cmin>0

temp=Cmin+objvalue(i)

else

temp=0.0

end

fitvalue(i)=temp

end

fitvalue=fitvalue'

% 2.4 选择复制

% 选择或复制 *** 作是决定哪些个体可以进入下一代。程序中采用赌轮盘选择法选择，这种方法较易实现。

% 根据方程 pi=fi/∑fi=fi/fsum ，选择步骤：

% 1） 在第 t 代，由（1）式计算 fsum 和 pi

% 2） 产生 {0,1} 的随机数 rand( .)，求 s=rand( .)*fsum

% 3） 求 ∑fi≥s 中最小的 k ，则第 k 个个体被选中

% 4） 进行 N 次2）、3） *** 作，得到 N 个个体，成为第 t=t+1 代种群

%遗传算法子程序

%Name: selection.m

%选择复制

function [newpop]=selection(pop,fitvalue)

totalfit=sum(fitvalue)%求适应值之和

fitvalue=fitvalue/totalfit%单个个体被选择的概率

fitvalue=cumsum(fitvalue)%如 fitvalue=[1 2 3 4]，则 cumsum(fitvalue)=[1 3 6 10]

[px,py]=size(pop)

ms=sort(rand(px,1))%从小到大排列

fitin=1

newin=1

while newin<=px

if(ms(newin))<fitvalue(fitin)

newpop(newin)=pop(fitin)

newin=newin+1

else

fitin=fitin+1

end

end

% 2.5 交叉

% 交叉(crossover)，群体中的每个个体之间都以一定的概率 pc 交叉，即两个个体从各自字符串的某一位置

% （一般是随机确定）开始互相交换，这类似生物进化过程中的基因分裂与重组。例如，假设2个父代个体x1，x2为：

% x1=0100110

% x2=1010001

% 从每个个体的第3位开始交叉，交又后得到2个新的子代个体y1，y2分别为：

% y1＝0100001

% y2＝1010110

% 这样2个子代个体就分别具有了2个父代个体的某些特征。利用交又我们有可能由父代个体在子代组合成具有更高适合度的个体。

% 事实上交又是遗传算法区别于其它传统优化方法的主要特点之一。

%遗传算法子程序

%Name: crossover.m

%交叉

function [newpop]=crossover(pop,pc)

[px,py]=size(pop)

newpop=ones(size(pop))

for i=1:2:px-1

if(rand<pc)

cpoint=round(rand*py)

newpop(i,:)=[pop(i,1:cpoint),pop(i+1,cpoint+1:py)]

newpop(i+1,:)=[pop(i+1,1:cpoint),pop(i,cpoint+1:py)]

else

newpop(i,:)=pop(i)

newpop(i+1,:)=pop(i+1)

end

end

% 2.6 变异

% 变异(mutation)，基因的突变普遍存在于生物的进化过程中。变异是指父代中的每个个体的每一位都以概率 pm 翻转，即由“1”变为“0”，

% 或由“0”变为“1”。遗传算法的变异特性可以使求解过程随机地搜索到解可能存在的整个空间，因此可以在一定程度上求得全局最优解。

%遗传算法子程序

%Name: mutation.m

%变异

function [newpop]=mutation(pop,pm)

[px,py]=size(pop)

newpop=ones(size(pop))

for i=1:px

if(rand<pm)

mpoint=round(rand*py)

if mpoint<=0

mpoint=1

end

newpop(i)=pop(i)

if any(newpop(i,mpoint))==0

newpop(i,mpoint)=1

else

newpop(i,mpoint)=0

end

else

newpop(i)=pop(i)

end

end

% 2.7 求出群体中最大得适应值及其个体

%遗传算法子程序

%Name: best.m

%求出群体中适应值最大的值

function [bestindividual,bestfit]=best(pop,fitvalue)

[px,py]=size(pop)

bestindividual=pop(1,:)

bestfit=fitvalue(1)

for i=2:px

if fitvalue(i)>bestfit

bestindividual=pop(i,:)

bestfit=fitvalue(i)

end

end

% 2.8 主程序

%遗传算法主程序

%Name:genmain05.m

clear

clf

popsize=20%群体大小

chromlength=10%字符串长度（个体长度）

pc=0.6%交叉概率

pm=0.001%变异概率

pop=initpop(popsize,chromlength)%随机产生初始群体

for i=1:20 %20为迭代次数

[objvalue]=calobjvalue(pop)%计算目标函数

fitvalue=calfitvalue(objvalue)%计算群体中每个个体的适应度

[newpop]=selection(pop,fitvalue)%复制

[newpop]=crossover(pop,pc)%交叉

[newpop]=mutation(pop,pc)%变异

[bestindividual,bestfit]=best(pop,fitvalue)%求出群体中适应值最大的个体及其适应值

y(i)=max(bestfit)

n(i)=i

pop5=bestindividual

x(i)=decodechrom(pop5,1,chromlength)*10/1023

pop=newpop

end

fplot('10*sin(5*x)+7*cos(4*x)',[0 10])

hold on

plot(x,y,'r*')

hold off

[z index]=max(y)%计算最大值及其位置

x5=x(index)%计算最大值对应的x值

y=z

【问题】求f(x)=x 10*sin(5x) 7*cos(4x)的最大值，其中0<=x<=9

【分析】选择二进制编码，种群中的个体数目为10，二进制编码长度为20，交叉概率为0.95,变异概率为0.08

【程序清单】

%编写目标函数

function[sol,eval]=fitness(sol,options)

x=sol(1)

eval=x 10*sin(5*x) 7*cos(4*x)

%把上述函数存储为fitness.m文件并放在工作目录下

initPop=initializega(10,[0 9],'fitness')%生成初始种群，大小为10

[x endPop,bPop,trace]=ga([0 9],'fitness',[],initPop,[1e-6 1 1],'maxGenTerm',25,'normGeomSelect',...

[0.08],['arithXover'],[2],'nonUnifMutation',[2 25 3]) %25次遗传迭代

运算借过为：x =

7.8562 24.8553(当x为7.8562时，f（x）取最大值24.8553)

注：遗传算法一般用来取得近似最优解，而不是最优解。

遗传算法实例2

【问题】在－5<=Xi<=5,i=1,2区间内，求解

f(x1,x2)=-20*exp(-0.2*sqrt(0.5*(x1.^2 x2.^2)))-exp(0.5*(cos(2*pi*x1) cos(2*pi*x2))) 22.71282的最小值。

【分析】种群大小10，最大代数1000，变异率0.1,交叉率0.3

【程序清单】

％源函数的matlab代码

function [eval]=f(sol)

numv=size(sol,2)

x=sol(1:numv)

eval=-20*exp(-0.2*sqrt(sum(x.^2)/numv)))-exp(sum(cos(2*pi*x))/numv) 22.71282

%适应度函数的matlab代码

function [sol,eval]=fitness(sol,options)

numv=size(sol,2)-1

x=sol(1:numv)

eval=f(x)

eval=-eval

%遗传算法的matlab代码

bounds=ones(2,1)*[-5 5]

[p,endPop,bestSols,trace]=ga(bounds,'fitness')

注：前两个文件存储为m文件并放在工作目录下，运行结果为

p =

0.0000 -0.0000 0.0055

大家可以直接绘出f(x)的图形来大概看看f（x）的最值是多少，也可是使用优化函数来验证。matlab命令行执行命令：

fplot('x 10*sin(5*x) 7*cos(4*x)',[0,9])

evalops是传递给适应度函数的参数，opts是二进制编码的精度，termops是选择maxGenTerm结束函数时传递个maxGenTerm的参数，即遗传代数。xoverops是传递给交叉函数的参数。mutops是传递给变异函数的参数。

【问题】求f(x)=x+10*sin(5x)+7*cos(4x)的最大值，其中0<=x<=9

【分析】选择二进制编码，种群中的个体数目为10，二进制编码长度为20，交叉概率为0.95,变异概率为0.08

【程序清单】

%编写目标函数

function[sol,eval]=fitness(sol,options)

x=sol(1)

eval=x+10*sin(5*x)+7*cos(4*x)

%把上述函数存储为fitness.m文件并放在工作目录下

initPop=initializega(10,[0 9],'fitness')%生成初始种群，大小为10

[x endPop,bPop,trace]=ga([0 9],'fitness',[],initPop,[1e-6 1 1],'maxGenTerm',25,'normGeomSelect',...

[0.08],['arithXover'],[2],'nonUnifMutation',[2 25 3]) %25次遗传迭代

运算借过为：x =

7.8562 24.8553(当x为7.8562时，f（x）取最大值24.8553)

注：遗传算法一般用来取得近似最优解，而不是最优解。

遗传算法实例2

【问题】在－5<=Xi<=5,i=1,2区间内，求解

f(x1,x2)=-20*exp(-0.2*sqrt(0.5*(x1.^2+x2.^2)))-exp(0.5*(cos(2*pi*x1)+cos(2*pi*x2)))+22.71282的最小值。

【分析】种群大小10，最大代数1000，变异率0.1,交叉率0.3

【程序清单】

％源函数的matlab代码

function [eval]=f(sol)

numv=size(sol,2)

x=sol(1:numv)

eval=-20*exp(-0.2*sqrt(sum(x.^2)/numv)))-exp(sum(cos(2*pi*x))/numv)+22.71282

%适应度函数的matlab代码

function [sol,eval]=fitness(sol,options)

numv=size(sol,2)-1

x=sol(1:numv)

eval=f(x)

eval=-eval

%遗传算法的matlab代码

bounds=ones(2,1)*[-5 5]

[p,endPop,bestSols,trace]=ga(bounds,'fitness')

注：前两个文件存储为m文件并放在工作目录下，运行结果为

p =

0.0000 -0.0000 0.0055

大家可以直接绘出f(x)的图形来大概看看f（x）的最值是多少，也可是使用优化函数来验证。matlab命令行执行命令：

fplot('x+10*sin(5*x)+7*cos(4*x)',[0,9])

evalops是传递给适应度函数的参数，opts是二进制编码的精度，termops是选择maxGenTerm结束函数时传递个maxGenTerm的参数，即遗传代数。xoverops是传递给交叉函数的参数。mutops是传递给变异函数的参数。

参考资料：不记得了，抱歉

美国Michigan 大学的 Holland 教授提出的遗传算法(GeneticAlgorithm, GA)是求解复杂的组合优化问题的有效方法 ，其思想来自于达尔文进化论和门德尔松遗传学说 ，它模拟生物进化过程来从庞大的搜索空间渗旁中筛选出较优秀的解，是一种高效而且具有强鲁棒性方法。所以，遗传算法在求解TSP和 MTSP问题中得到了广泛的应用。

matlab程序如下：

function[opt_rte,opt_brk,min_dist] =mtspf_ga(xy,dmat,salesmen,min_tour,pop_size,num_iter)

%%

%实例

%     n = 20%城市个数

%     xy = 10*rand(n,2)%城市坐标  随机产生，也可以自己设定

%     salesmen = 5%旅行商个数

%     min_tour = 3%每个旅行商最少访问的城市数

%     pop_size = 80%种群个数

%     num_iter = 200%迭代次数

%     a = meshgrid(1:n)

%     dmat =reshape(sqrt(sum((xy(a,:)-xy(a',:)).^2,2)),n,n)

%     [opt_rte,opt_brk,min_dist] = mtspf_ga(xy,dmat,salesmen,min_tour,...

%         pop_size,num_iter)%函数

%%

[N,dims]= size(xy)%城市矩阵大小

[nr,nc]= size(dmat)%城市距离矩阵大小

n = N -1% 除去起始的城市后剩余的城市的数

% 初始化路线、断点的选择

num_brks= salesmen-1

dof = n- min_tour*salesmen       %初丛仔橡始化路线、断点的选择

addto =ones(1,dof+1)

for k =2:num_brks

addto = cumsum(addto)

end

cum_prob= cumsum(addto)/sum(addto)

%% 初始化种群

pop_rte= zeros(pop_size,n)          %   种群路径

pop_brk= zeros(pop_size,num_brks)    % 断点集合的种群

for k =1:pop_size

pop_rte(k,:) = randperm(n)+1

pop_brk(k,:) = randbreaks()

end

%  画图路径曲线颜色

clr =[1 0 00 0 10.67 0 10 1 01 0.5 0]

ifsalesmen >戚镇 5

clr = hsv(salesmen)

end

%%

% 基于遗传算法的MTSP

global_min= Inf        %初始化最短路径

total_dist= zeros(1,pop_size)

dist_history= zeros(1,num_iter)

tmp_pop_rte= zeros(8,n)%当前的路径设置

tmp_pop_brk= zeros(8,num_brks)%当前的断点设置

new_pop_rte= zeros(pop_size,n)%更新的路径设置

new_pop_brk= zeros(pop_size,num_brks)%更新的断点设置

foriter = 1:num_iter

% 计算适应值

for p = 1:pop_size

d = 0

p_rte = pop_rte(p,:)

p_brk = pop_brk(p,:)

rng = [[1 p_brk+1][p_brk n]]'

for s = 1:salesmen

d = d + dmat(1,p_rte(rng(s,1)))% 添加开始的路径

for k = rng(s,1):rng(s,2)-1

d = d + dmat(p_rte(k),p_rte(k+1))

end

d = d + dmat(p_rte(rng(s,2)),1)% 添加结束的的路径

end

total_dist(p) = d

end

% 找到种群中最优路径

[min_dist,index] = min(total_dist)

dist_history(iter) = min_dist

if min_dist <global_min

global_min = min_dist

opt_rte = pop_rte(index,:)%最优的最短路径

opt_brk = pop_brk(index,:)%最优的断点设置

rng = [[1 opt_brk+1][opt_brk n]]'%设置记录断点的方法

figure(1)

for s = 1:salesmen

rte = [1 opt_rte(rng(s,1):rng(s,2))1]

plot(xy(rte,1),xy(rte,2),'.-','Color',clr(s,:))

title(sprintf('城市数目为 = %d,旅行商数目为 = %d,总路程 = %1.4f, 迭代次数 =%d',n+1,salesmen,min_dist,iter))

hold on

grid on

end

plot(xy(1,1),xy(1,2),'ko')

hold off

end

% 遗传 *** 作

rand_grouping = randperm(pop_size)

for p = 8:8:pop_size

rtes = pop_rte(rand_grouping(p-7:p),:)

brks = pop_brk(rand_grouping(p-7:p),:)

dists =total_dist(rand_grouping(p-7:p))

[ignore,idx] = min(dists)

best_of_8_rte = rtes(idx,:)

best_of_8_brk = brks(idx,:)

rte_ins_pts = sort(ceil(n*rand(1,2)))

I = rte_ins_pts(1)

J = rte_ins_pts(2)

for k = 1:8 %产生新种群

tmp_pop_rte(k,:) = best_of_8_rte

tmp_pop_brk(k,:) = best_of_8_brk

switch k

case 2% 倒置 *** 作

tmp_pop_rte(k,I:J) =fliplr(tmp_pop_rte(k,I:J))

case 3  % 互换 *** 作

tmp_pop_rte(k,[I J]) =tmp_pop_rte(k,[J I])

case 4 % 滑动平移 *** 作

tmp_pop_rte(k,I:J) =tmp_pop_rte(k,[I+1:J I])

case 5% 更新断点

 tmp_pop_brk(k,:) = randbreaks()

case 6  % 倒置并更新断点

tmp_pop_rte(k,I:J) =fliplr(tmp_pop_rte(k,I:J))

tmp_pop_brk(k,:) =randbreaks()

case 7 % 互换并更新断点

tmp_pop_rte(k,[I J]) =tmp_pop_rte(k,[J I])

tmp_pop_brk(k,:) =randbreaks()

case 8 % 评议并更新断点

tmp_pop_rte(k,I:J) =tmp_pop_rte(k,[I+1:J I])

tmp_pop_brk(k,:) =randbreaks()

otherwise

end

end

new_pop_rte(p-7:p,:) = tmp_pop_rte

new_pop_brk(p-7:p,:) = tmp_pop_brk

end

pop_rte = new_pop_rte

pop_brk = new_pop_brk

end

figure(2)

plot(dist_history,'b','LineWidth',2)

title('历史最优解')

xlabel('迭代次数')

ylabel('最优路程')

% 随机产生一套断点 的集合

function breaks = randbreaks()

if min_tour == 1 % 一个旅行商时，没有断点的设置

tmp_brks = randperm(n-1)

breaks =sort(tmp_brks(1:num_brks))

else % 强制断点至少找到最短的履行长度

num_adjust = find(rand <cum_prob,1)-1

spaces =ceil(num_brks*rand(1,num_adjust))

adjust = zeros(1,num_brks)

for kk = 1:num_brks

adjust(kk) = sum(spaces == kk)

end

breaks = min_tour*(1:num_brks) +cumsum(adjust)

end

end

disp('最优路径为：/n')

disp(opt_rte)

disp('其中断点为为：/n')

disp(opt_brk)

end

---