均值模型

原文链接：http://tecdat.cn/?p=20015

本文将说明单变量和多变量金融时间序列的不同模型，特别是条件均值和条件协方差矩阵、波动率的模型。

均值模型

本节探讨条件均值模型。

iid模型

我们从简单的iid模型开始。iid模型假定对数收益率xt为N维高斯时间序列：

均值和协方差矩阵的样本估计量分别是样本均值

和样本协方差矩阵

我们从生成数据开始，熟悉该过程并确保估计过程给出正确的结果（即完整性检查）。然后使用真实的市场数据并拟合不同的模型。

让我们生成合则卖成iid数据并估算均值和协方差矩阵：

# 生成综合收益数据X <- rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)# 样凯没本估计（样本均值和样本协方差矩阵）mu_sm <- colMeans(X)Sigma_scm <- cov(X)# 误差norm(mu_sm     - mu, "2")#>[1] 2.44norm(Sigma_scm - Sigma, "F")#>[1] 70.79

现在，让我们针对不同数量的观测值T再做一次：

# 首先生成所有数据X <- rmvnorm(n = T_max, mean = mu, sigma = Sigma)# 现在遍历样本的子集for (T_ in T_sweep) {  # 样本估算  mu_sm <- colMeans(X_)  Sigma_scm <- cov(X_)  # 计算误差  error_mu_vs_T    <- c(error_mu_vs_T,    norm(mu_sm     - mu, "2"))  error_Sigma_vs_T <- c(error_Sigma_vs_T, norm(Sigma_scm - Sigma, "F"))# 绘图plot(T_sweep, error_mu_vs_T,      main = "mu估计误差",

plot(T_sweep, error_Sigma_vs_T     main = "Sigma估计中的误差", ylab = "误差"

单变量ARMA模型

对数收益率xt上的ARMA（p，q）模型是

其中wt是均值为零且方差为σ2的白噪声序列。模型的参数是系数ϕi，θi和噪声方差σ2。

请注意，ARIMA（p，d，q）模型是时间差分为d阶的ARMA（p，q）模型。因此，如果我们用xt代替对数价格，那么先前的对数收益模型实际上就是ARIMA（p，1，q）模型，因为一旦对数价格差分，我们就获得对数收益。

rugarch生成数据

我们将使用rugarch包  生成单变量ARMA数据，估计参数并进行预测。

首先，我们需要定义模型：

# 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型#>#>*----------------------------------*#>*       ARFIMA Model Spec          *#>*----------------------------------*#>Conditional Mean Dynamics#>------------------------------------#>Mean Model           : ARFIMA(1,0,0)#>盯盯纳 Include Mean     : TRUE #>#>Conditional Distribution#>------------------------------------#>Distribution :  norm #>Includes Skew    :  FALSE #>Includes Shape   :  FALSE #>Includes Lambda  :  FALSE#>         Level Fixed Include Estimate LB UB#>mu        0.01     1       1        0 NA NA#>ar1      -0.90     1       1        0 NA NA#>ma        0.00     0       0        0 NA NA#>arfima    0.00     0       0        0 NA NA#>archm     0.00     0       0        0 NA NA#>mxreg     0.00     0       0        0 NA NA#>sigma     0.20     1       1        0 NA NA#>alpha     0.00     0       0        0 NA NA#>beta      0.00     0       0        0 NA NA#>gamma     0.00     0       0        0 NA NA#>eta1      0.00     0       0        0 NA NA#>eta2      0.00     0       0        0 NA NA#>delta     0.00     0       0        0 NA NA#>lambda    0.00     0       0        0 NA NA#>vxreg     0.00     0       0        0 NA NA#>skew      0.00     0       0        0 NA NA#>shape     0.00     0       0        0 NA NA#>ghlambda  0.00     0       0        0 NA NA#>xi        0.00     0       0        0 NA NAfixed.pars#>$mu#>[1] 0.01#>#>$ar1#>[1] -0.9#>#>$sigma#>[1] 0.2true_params#>   mu   ar1 sigma #> 0.01 -0.90  0.20

然后，我们可以生成时间序列：

# 模拟一条路径apath(spec, n.sim = T)# 转换为xts并绘图plot(synth_log_returns, main = "ARMA模型的对数收益率"plot(synth_log_prices, main = "ARMA模型的对数价格"

ARMA模型

现在，我们可以估计参数（我们已经知道）：

# 指定AR（1）模型arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 估计模型#>          mu          ar1        sigma #>      0.0083      -0.8887       0.1987#>   mu   ar1 sigma #> 0.01 -0.90  0.20

我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：

# 循环for (T_ in T_sweep) {  estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(arma_fit))  error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs(coef(arma_fit) - true_params)/true_params)# 绘图matplot(T_sweep, estim_coeffs_vs_T,         main = "估计的ARMA系数", xlab = "T", ylab = "值",

matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,         main = "估计ARMA系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",

首先，真正的μ几乎为零，因此相对误差可能显得不稳定。在T = 800个样本之后，其他系数得到了很好的估计。

ARMA预测

为了进行健全性检查，我们现在将比较两个程序包 Forecast 和 rugarch的结果：

# 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE),                              fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))# 生成长度为1000的序列arfima(arma_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim# 使用 rugarch包指定和拟合模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 使用包“ forecast”拟合模型#>ARIMA(1,0,0) with non-zero mean #>#>Coefficients:#>          ar1    mean#>      -0.8982  0.0036#>s.e.   0.0139  0.0017#>#>sigma^2 estimated as 0.01004:  log likelihood=881.6#>AIC=-1757.2   AICc=-1757.17   BIC=-1742.47# 比较模型系数#>         ar1    intercept        sigma #>-0.898181148  0.003574781  0.100222964#>          mu          ar1        sigma #> 0.003605805 -0.898750138  0.100199956

确实，这两个软件包给出了相同的结果。

ARMA模型选择

在先前的实验中，我们假设我们知道ARMA模型的阶数，即p = 1和q = 0。实际上，阶数是未知的，因此必须尝试不同的阶数组合。阶数越高，拟合越好，但这将不可避免地导致过度拟合。已经开发出许多方法来惩罚复杂性的增加以避免过度拟合，例如AIC，BIC，SIC，HQIC等。

# 尝试不同的组合# 查看排名#>   AR MA Mean ARFIMA         BIC converged#>1   1  0    1      0 -0.38249098         1#>2   1  1    1      0 -0.37883157         1#>3   2  0    1      0 -0.37736340         1#>4   1  2    1      0 -0.37503980         1#>5   2  1    1      0 -0.37459177         1#>6   3  0    1      0 -0.37164609         1#>7   1  3    1      0 -0.37143480         1#>8   2  2    1      0 -0.37107841         1#>9   3  1    1      0 -0.36795491         1#>10  2  3    1      0 -0.36732669         1#>11  3  2    1      0 -0.36379209         1#>12  3  3    1      0 -0.36058264         1#>13  0  3    1      0 -0.11875575         1#>14  0  2    1      0  0.02957266         1#>15  0  1    1      0  0.39326050         1#>16  0  0    1      0  1.17294875         1#选最好的armaOrder#>AR MA #> 1  0

在这种情况下，由于观察次数T = 1000足够大，因此阶数被正确地检测到。相反，如果尝试使用T = 200，则检测到的阶数为p = 1，q = 3。

ARMA预测

一旦估计了ARMA模型参数ϕi  ^ i和θ^j，就可以使用该模型预测未来的值。例如，根据过去的信息对xt的预测是

并且预测误差将为xt-x ^ t = wt（假设参数已被估计），其方差为σ2。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：

# 估计模型（不包括样本外）coef(arma_fit)#>          mu          ar1        sigma #> 0.007212069 -0.898745183  0.200400119# 整个样本外的预测对数收益forecast_log_returns <- xts(arma_fore@forecast$seriesFor[1, ], dates_out_of_sample)# 恢复对数价格prev_log_price <- head(tail(synth_log_prices, out_of_sample+1), out_of_sample)# 对数收益图plot(cbind("fitted"   = fitted(arma_fit),# 对数价格图plot(cbind("forecast" = forecast_log_prices,     main = "对数价格预测", legend.loc = "topleft")

多元VARMA模型

对数收益率xt上的VARMA（p，q）模型是

其中wt是具有零均值和协方差矩阵Σw的白噪声序列。该模型的参数是矢量/矩阵系数ϕ0，Φi，Θj和噪声协方差矩阵Σw。

比较

让我们首先加载S＆P500：

# 加载标普500数据head(SP500_index_prices)#>             SP500#>2012-01-03 1277.06#>2012-01-04 1277.30#>2012-01-05 1281.06#>2012-01-06 1277.81#>2012-01-09 1280.70#>2012-01-10 1292.08# 准备训练和测试数据logreturns_trn <- logreturns[1:T_trn]logreturns_tst <- logreturns[-c(1:T_trn)]# 绘图{ plot(logreturns,   addEventLines(xts("训练"

现在，我们使用训练数据（即，对于t = 1，…，Ttrnt = 1，…，Ttrn）来拟合不同的模型（请注意，通过指示排除了样本外数据 out.sample = T_tst）。特别是，我们将考虑iid模型，AR模型，ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型（稍后将对方差建模进行更详细的研究）。

# 拟合i.i.d.模型coef(iid_fit)#>          mu        sigma #>0.0005712982 0.0073516993mean(logreturns_trn)#>[1] 0.0005681388sd(logreturns_trn)#>[1] 0.007360208# 拟合AR（1）模型coef(ar_fit)#>           mu           ar1         sigma #> 0.0005678014 -0.0220185181  0.0073532716# 拟合ARMA（2,2）模型coef(arma_fit)#>           mu           ar1           ar2           ma1           ma2         sigma #> 0.0007223304  0.0268612636  0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211  0.0072573570# 拟合ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型coef(arch_fit)#>           mu           ar1           ma1         omega        alpha1 #> 6.321441e-04  8.720929e-02 -9.391019e-02  4.898885e-05  9.986975e-02#拟合ARMA（0,0）+ARCH（10）模型coef(long_arch_fit)#>          mu        omega       alpha1       alpha2       alpha3       alpha4       alpha5 #>7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02 #>      alpha6       alpha7       alpha8       alpha9      alpha10 #>4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06# 拟合ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型coef(garch_fit)#>           mu           ar1           ma1         omega        alpha1         beta1 #> 6.660346e-04  9.664597e-01 -1.000000e+00  7.066506e-06  1.257786e-01  7.470725e-01

我也刚做过，不知道是和你的一样不。仿真模型输出数据Y

直接在matlab里编程

z=iddata(Y)

armax(z,'na',na,'nc',nc)

就这两条语句就ok，其唯闷中na，nc是你自己需要的阶次，自己输入。比如，我想要阶次为10，就袭困写成armax(z,'na',10,'nc',10)

希望能帮到你指禅弯！

---