用matlab求高斯函数积分

%%%==========

a1=0.3826

b1=452.1

c1=9.185

a2=0.5569

b2=455

c2=18.23

a3=-0.03431

b3=497.9

c3=11.48

a4=0.2741

b4=554.2

c4=85.93

%积分上下限

x0=1

x1=3

%高斯银虚积分哪搏肢点以及权系数

gx=[-0.9061799,-0.5384693,0,0.5384693,0.9061799]

gweight=[0.2369269,0.4786287,0.5688889,0.4786287,0.2369269]

intf=0

for i=1:5

x=(x0+x1)/2+(x1-x0)/2*gx(i)

intf=intf+gweight(i)*(a1*exp(-((x-b1)/c1).^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2).^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3).^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4).^2))

end

intf=intf*(x1-x0)/李世2

intf

数值求积基本通用公式如下

Eqn1.gif

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xk：求积节点

Ak：求积系数，与f(x)无关

数值积分要做的就是确定上式中的节点xk和系数Ak。可以证明当求积系数Ak全为正时，上述数值积分计算过程是稳定。

二、插值型数值积分公式

对f(x)给定的n+1个节点进行Lagrange多项式插值，故

Eqn2.gif

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即求积系数为

Eqn3.gif

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三、牛顿-柯特桐滚斯数值积分公式

当求积节点在[a,b]等间距闭此分布时，插值型积分公式（先使用Lagrange对节点进行多项式插值，再计算求积系数，最后求积分值）称为Newton-Cotes积分公式。

由于Newton-Cotes积分是通过Lagrange多项式插值变化而来的，我们都知道高次多项式插值会出现Runge振荡现象，因此会导致高阶Newton-Cotes公式不稳定。

Newton-Cotes积分公式的求积系数为

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其中C(k,n)称为柯特斯系数。

(1)当n=1时，Newton-Cotes公式即为梯形公式

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容易证明上式具有一次代数精度(对于Newton-Cotes积分公式，n为奇数时有n次迭代精度，n为偶数时具有n+1次精度，精度越高积分越精确，同时计算量也越大)

(2)当n=2时，Newton-Cotes公式即为辛普森(Simpson)公式或者抛物线公式

Eqn6.gif

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上式具有3次迭代精度

(3)当n=4时，Newton-Cotes公式称为科特斯(Cotes)公式

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上式具有5次迭代精度。由于n=3和n=2时具有相同的迭代精度，但是n=2时计算量小，故n=3的Newton-Cotes积分公式用的很少

(4)当≥8时，通过计算可以知道，在n=8时柯特斯系数出现负值

由于数值积分稳定的条件是求积系数Ak必须为正，所以n>=8以上高阶Newton-Cotes公式，我们不能保证积分的稳定性(其根本原因是，Newton-Cotes公式是由Lagrange插值多项推导出来的，而高阶多项式会出现Rung现象)。

四、复化求解公式

n阶Newton-Cotes公式只能有n+1个积分节点，但是高阶Newton-Cotes公式由不稳定。为了提高大区间的数值积分精度，我们采用了分段积轿轮迅分的方法，即先将原区间划分成若干小区间，然后对每一个小区间使用Newton-Cotes积分公式，这就是复化Newton-Cotes求积公式。

(1)当n=1时，称为复化梯形公式。将[a,b]等分为n份，子区间长度为h=(b-a)/n，则复化梯形公式为

(注意：复化求解公式不需要求积子区间等间距，只是Newton-Cotes公式分段积分时自动对小区间进行等分，我们这里采用等分子区间是为了便于计算而已)

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(2)当n=2时，称为复化辛普森公式。

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五、Newton-Cotes数值积分公式Matlab代码