对信号进行小波变换后得到的系数是什么？用小波变换进行信号压缩的原理是什么？

小h波变换和去噪通俗的讲就是剥大a蒜的过程，也y就是不e断的分6层，使得信号拆分6成各种频段（根据采用频率而定），而这一e过程要用到低通滤波器和高通滤波器，而小m波去噪就是在高频部分5（因为2通常白噪声出现在高频部分8）改变数字量，运用一w些算法去除一w些混有噪声的数字，然后再运用重构低通滤波器和高通滤波器把刚刚分5层的频段加起来，差不u多就是拼凑大a蒜的过程吧。 如何改变高频系数（也r就是去除噪声）具体算法如下m： 2。软门u限和硬门t限所谓门d限法,就是选择一p个j门n限,然后利用这个i门z限对小l波变换后的离散细节信号和离散逼近信号进行处理。硬门n限可以3描述为8：当数据的绝对值小t于x给定的门e限时,令其为4零,而数据为5其他值时不t变。软门i限可以1描述为2:当数据的绝对值小x于u给定的门d限时,令其为1零,然后把其他数据点向零收缩。 3。门e限选择的准则及q其算法根据现有的文7献,对于m被高斯白噪声污染的信号基本噪声模型, 一k般地, 选择门i限的准则如下p: 5． 无b偏风5险估计7准则。对应于f每一q个y门p限值, 求出与g其对应的风4险值, 使风2险最小m的门b限就是我们所要选取的门c限，其具体算法为7: (a) 把待估计2的矢量中5的元g素取绝对值, 由小i到大s排序, 然后将各个z元t素平方5, 得到新的待估计0矢量N V ,其长7度为6原待估计4矢量的长0度n。 (b) 对应每一v个t元l素下p标(即元o素的序号) k ,若取门l限为0待估计3矢量的第k 个c元h素的平方6根,则风5险算法为1: (1) 固定门s限准则。 利用固定形式的门u限,可取得较好的去噪特性。设n 为1待估计5矢量的长6度,取长0度3 倍的常用对数的平方8根为0门n限。 (7) 极小p极大w准则。本准则采用固定门f限获得理想过程的极小z极大e特性。 极小j极大o原理是在统计7学中8为4设计2估计8量而采用的,由于s去噪信号可以6假设为7未知回归函数的估计4量,则极小y极大m估计7量是实现在最坏条件下f最大c均方4误差最小q的任选量。 (3) 混合准则。 它是无j偏风7险估计8和固定门h限准则的混合2011-10-27 7:09:53

小波分析方法是近年来发展起来的新的数学方法，小波的概念最早由法国地球物理学家JMorlet和AGrossmann在20世纪70年代分析处理地震数据时提出的，广泛应用于信号处理、图像处理、模式识别、地球物理勘探等领域。

长期以来，信号处理中最基本的数学工具是Fourier分析。Fourier分析能有效地分析平稳信号，能通过频谱函数方便地指明平稳信号的主要谐波成分。然而在实际应用中，我们常常需要分析频域特性随时间变化的非平稳信号，如音乐信号、语音信号、地球物理信号等，需要了解某些局部时域信号所对应的频率特性，也需要了解某些频率的信息出现在哪些时间或空间段上。上述情形都提出了关于短时段时域信号所对应的局部频域特性，即时-频局部化的要求。

为了克服Fourier变换在时-频局部化方面的不足，DGabor提出了窗口Fourier变换（简记为WFT）方法。WFT在Fourier分析的基础上取得了进步，用WFT分析信号可在时-频窗这个局部范围内观察信号；但是WFT无法使时-频窗形状是自适应变化的，即对低频信号，其窗口形状自动变得扁平，对高频信号，其窗口形状自动变得瘦长。小波变换可以克服WFT的这一缺点。

连续小波变换定义为

地球物理勘探概论

设定

地球物理勘探概论

则称函数系ψa，b（t）为小波函数或简称为小波（Wavelet），它是由函数ψ（t）经过不同的时间尺度伸缩和不同的时间平移得到的。式（3-7-30）中的R表示实数域；ψ（t）称为母小波；a是时间轴尺度伸缩参数，大的a值对应于小的尺度，相应的小波ψa，b（t）伸展较宽；反之，小的a值对应的小波在时间轴上受到压缩；b是时间平移参数，不同b值的小波沿时间轴移动到不同位置。系数｜a｜ －1/2是归一化因子，它的引入是为了使不同尺度的小波保持相等的能量。

一个函数ψ（t）能够作为母小波，必须满足：

地球物理勘探概论

该式的物理意义是：ψ（t）是一个振幅衰减得很快的“波”，“小波”即由此得名。

连续小波变换可以看成是连续变化的一组短时傅里叶变换的汇集，这些短时傅里叶变换对不同的信号频率使用了宽度不同的窗函数。具体来说，即高频用窄时域窗，低频用宽时域窗。小波变换具有的这一宝贵性质称为“变焦距”性质。

小波变换是重磁异常分解的有效工具，利用小波多尺度分析方法，可以将重磁异常分解到不同尺度空间中，不同尺度的重磁异常反映了不同地质体的规模和埋深。作为一种新而有效的位场分离途径，小波多尺度分析方法为重磁资料解释和研究地壳提供了新的思路，在国内外得到了广泛的应用。侯遵泽、杨文采等（1995，1997）对中国大陆布格重力异常进行了小波多尺度分解，得到中国大陆地壳内及上地幔各种尺度成分意义下密度不均匀分布情况。高德章等（2000）采用二维小波多尺度分解技术，对东海及邻区自由空间重力异常进行分解，得到了沉积基底面和莫霍面产生的重力异常，所得到的四阶小波细节与东海陆架沉积盆地及邻区沉积基底面的起伏具有较好的一致性。

小波多尺度分析又称多分辨分析，它把一个信号分解为逼近部分和细节部分，表示为 ，Ai是逼近部分，Dj细节部分。图3-7-11为三层多尺度分析结构图，其中，S是信号，A1、A2、A3是逼近部分，D1、D2、D3是细节部分。

图3-7-11 三层多尺度分析结构图

把图3-7-11 多尺度分析方法应用于磁测资料处理，野外观测值ΔT经一阶小波分解，得到局部场ΔT局1和区域场ΔT区1，把 ΔT区1作二阶小波分解得到ΔT局2和ΔT区2，再把ΔT区2作三阶小波分解可得ΔT局3和ΔT区3…还可以继续分解。根据异常的特征和地质情况来决定分解到几阶，解释时要赋予小波逼近部分和各阶的细节明确的地质意义。

地球物理勘探概论

把大冶铁矿ΔZ磁异常［图3-7-12（a）］用多尺度分析方法分解为1～5阶细节和5阶逼近，用谱分析方法得出一阶细节场源似深度26m［图（b）］，局部异常反映露天矿及浅表磁性不均匀以及人文活动干扰（如铁矿开采、钻探等钢铁制品干扰）。二阶细节场源似深度144m［图（c）］，三阶细节场源似深度235m［图（d）］，反映地表至约200m深铁矿体的磁异常，异常特征为正负伴生，两侧都有负值，表明铁矿体是下延有限的形体。四阶细节场源似深度488m［图（e）］，图中磁异常正负伴生，正异常幅值大于1000nT，两侧有负异常伴生，表明500m左右深仍有磁性强的铁矿体存在。

图3-7-12 大冶铁矿ΔZ磁异常小波多尺度分解

五阶细节场源似深度912m［图（f）］，西段已经看不出明显局部异常，推测在1000m深以下不太可能有铁矿体存在。东段尖山-犁头山在五阶细节上有400nT局部异常，推测该处深部磁性体埋深1000m左右。从异常特征看，东段尖山-犁头山磁性体要比中西段尖林山、龙洞磁性体深。图中西北角的铁门坎区还存在有强度大于800nT没有闭合的正异常，是深部区域场，还是与局部异常有关，尚不清楚其性质。从异常特征看，它与尖山-犁头山段局部异常特征完全不一样。五阶逼近（图未列出）为西南负、东北正的磁场特征，反映大冶铁矿区西南部为无磁性大理岩，而东北部为具磁性的闪长岩体。

这问题挺有意思，你的疑惑可能主要是j的取值和意义问题导致的，在某些数学推导中j通常是正整数，则小波的公式会有两种，一种是matlab中的设定，它所有的公式都用－j表示，如果j表示DWT分解层次数，那么分解层数越高则频率越低，小波变换采用的方式是小波函数的伸长；另一种就是上面的形式，用j表示，分解层数越高则频率越高，小波变换采用的方式是小波函数的缩短。
那么对于上面的公式4，假设进行3层的DWT分解，公式右边最后的两项是信号w通过第一层的低通滤波器H（1w），这样将得到第一层逼近，然后倒数第三项是第二层的低通滤波器H（2w），第一层逼近通过它得到第二层的逼近，将第二层的逼近和第一项的第三层的高通滤波器G（2^2w）将得到第三层的细节。然后在等号两边同取FFT，就是你上边的噪声频域的表达。
在这种j的设定中，其一，j是可以为零的（例如最后倒数第二项），则j与真实的分解层次数是加1的关系，因为通常没有定义第0层分解的习惯（通常第0层表示原始信号，但你这公式j是在滤波器中显然不是这个意思）；其二，由于没有用－j导致分解层数越高，小波基越短，分解结果的频率越高，所以将频率最高的最高层数的细节当作噪声是很好理解的。其他的公式就不多说了，这种j的设定其实有时很让人抓狂，在描述的时候很麻烦，只是有时公式推导倒挺方便，就是难以叙述和同其它概念解释说明，水平有限，仅供参考。

由于项目可能会用到的原因,学一下,感觉已有的通俗易懂教程不够相应的学术性

教程:《数字信号处理》陈后金著
视频教程: 中国大学mooc-数字信号处理

[TOC]

在正式进入小波变换之前，我们不妨来讨论一下傅里叶变换的局限性和为什么我们需要引入小波变换。
回想傅里叶变换的公式

怎么来解决以上的问题呢有人提出了短时傅里叶变换来加以改善,我们先来看看短时傅里叶变换的表达式:


通过加入一个滑动的窗函数 (长度为N),来弥补傅里叶变换的频谱上没有时间信息这个弊端

其实原理很简单,就是原来一段的傅里叶变换,现在固定分成几段来分别进行傅里叶变换,那么分成的这几段,可以在时间上独立开来,就变成了 具有时间信息的傅里叶变换

但当然,这个加窗对整个变换也是有影响的,这里不妨先介绍两个术语:

时间分辨率由时窗宽度 决定,

越 小 ,时间分辨率越高

频谱分辨率是指分辩信号中相邻谱峰的能力

越 小 ,频谱分辨率越高。

在对信号的时频分析中,我们希望时间分辨率和频谱分辨率都可以比较高,但是从定义式里面我们就知道,时 间分辨率和频谱分辨率是相互制约的 ,同时也说明,我们没办法 同时获得 较高的时间分辨率和频谱分辨率

从这里我们可以再一步印证出,傅里叶变换(连续)具有无穷的频谱分辨率,而无时间分辨率

现在我们回来讨论短时傅里叶变换的窗函数 的长度N,显然N如果变大,频谱分辨率肯定是越来越好的,时间分辨率确实便来越差的同时N如果变小,频谱分辨率肯定是越来越差的,时间分辨率便是越来越差的

既然上面说了时间分辨率和频谱分辨率已经是不可兼得的了,那么现在问题来了, 我们到底想得到什么东西
回想一下:
傅里叶变换的缺点在他不能有效地处理非平稳信号,短时傅里叶变换的N是固定的,往两边变化都会有制约

那我们能不能在分析的过程中让这个N变起来让他 在信号变化快的时候窗变小一点 ,获得较高的时间分辨率,较低的频谱分辨率 在信号变化慢的时候窗变大一点 ,获得较低的时间分辨率,较高的频谱分辨率

这个时候就应该给大家引入小波变换了大家可以先无道理地认为小波变换就是一个窗长度会变的傅里叶变换(虽然我一直不喜欢这个通俗的比喻)

在正式讲小波变换前,需要先补充一些知识

在信号分析中,我们常将信号展开成一组信号的线性组合,即有

其中,{ }为展开系数,{ }为展开函数
若展开式具有 唯一性 ,即不同的信号对应不同的展开系数 ,则该展开函数 称为基(basis)。

对基函数来说,若其内积满足:

称此基函数为 正交规范(orthonormal) 基函数正交在于其他内积等于0,规范在于系数是1

在此基础上我们可以知道,由于每个基函数之间都是互相正交的,所以我们可以将x(t)和基函数 进行内积计算,便可以得到相应的展开系数 ,也就是:

稍微有点泛函常识的我们可以知道,这就是 将信号往给定基函数元素所张成的内积空间里面投射

比较出名的就是傅里叶级数,将信号往以 为基函数的内积空间(无穷维空间)内投射,得到的相应正交基函数的特征值(也就是展开系数 )这里的 就是傅里叶级数里面的 大家大可看看表达式,都是一模一样的

当然这个是反着来用的,根据每个维度的特征值来合成回x(t),也就是逆变换

这里要注意的还有一点是,所谓的基函数,其实不仅仅是一个函数,而是一些有相同特征且相互正交的函数族

小波(wavelet)信号是一类衰减较快的波动信号,其能量有限,且相对集中在局部区域
先来看看常用的小波函数:

和小波变换相关的还有尺度函数(父小波)(Scaling Function)

尺度函数族 定义为:

小波函数族和尺度函数族前面的系数 是为了保持基函数的能量始终为1

对于这两个后面会有更理性的认识,这里我们先直接介绍DWT和IDWT

有了小波函数和尺度函数,就相当于明确了我们的小波的基函数
我们可以利用小波函数族 ,尺度函数族 ,来将信号进行小波展开:

同时,上式也被称为 离散小波逆变换 (IDWT)

相反地,由信号x(t)求解展开系数{ }称为 离散小波变换(Discrete Wavelet Transform, DWT)

我们常用 来表示信号的粗糙成分, 来表示信号的精细部分详细内容会在下一篇博客继续阐述

之前总有一段时间不想学小波,感觉这个名词有点高大上什么的,然后因为最近要涉及到相关的信息,所以不得不学一下学完个基础之后不得不感叹的是,小波变换我觉得比傅里叶变换还要来得简单直接,演示的效果有时还蛮惊艳的

形象易懂讲解算法I——小波变换
小波变换完美通俗讲解系列之 （一）
小波变换完美通俗讲解系列之 （二
Wavelet transform - Wikipedia
A Tutorial of the Wavelet Transform

Ruch, David K And Van Fleet, Patrick J《Wavelet Theory：An elementary Approach With Applications》

Wavelets in Engineering Applications 罗高涌 ( 这可是我们学院罗教授出的书喔 )
购买链接如下:
Wavelets in Engineering Applications

小波分析中只有分解系数，即小波系数，没有重构系数一词，因为重构后就是与原始信号同大小的信号了，已经是具有实际量纲意义的信号了，而不是没有量纲的系数。

超越带宽是正常的事，因为DWT的计算都是用滤波器进行的，而实际应用中是没有有理想砖墙效应的滤波器的，即滤波后的结果是不会精准的去掉你要滤去的频率的，总会有很少的残余，或无中生有产生原来没有的频率。

中心频率在小波分析中只有一个意思就是某种小波基的中心频率，各频带只有频率没有中心频率。对于CWT小波基的中心频率可以用来算小波时频图。对于DWT你可以直接使用FFT计算个频带的频率，其频带划分可以通过采样定理划分。

你计算的是绝对能量，通常应计算相对比重的能量，用wenergy函数，各个频段加起来和为100。

比较重构信号的FFT幅值，在哪个频段大是的确就说明该重构信号频率成分主要是这一频段的。

问题太多，5分？简直在糟蹋行当。

设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率Fa为

Fa＝Fc×fs/a (1)

显然，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范围应为(2Fc,inf),其中inf表示为无穷大。在实际应用中，只需取尺度足够大即可。

没有说明和大家没有讲到是因为没人在小波变换中才去“确定”它们，说白了这两参数不是让你去确定的，是让你去设定的，你对小波的应用方法就没搞清，你要搞清楚的是它们如何影响处理结果的，按照你处理的目的设置不同的值，这牵扯到小波基的某些数学指标是如何影响处理结果的问题，要说的就多了。

    在cmorwavf函数的帮助文档中，列举了cmor15-1的函数波形，
中心频率（fc）可以这样看，从横轴0开始的波峰到横轴1的波峰，刚好是正弦波的一个完整周期，其经历的时间就应是频率值的倒数，那么中心频率刚好是1

下面是cmor15-2的函数波形，从横轴0开始的波峰到横轴05的波峰也是一个完整周期，经历的时间为05，取倒数，中心频率刚好是2这与你设定的fc一致，也就是说fc就是这么影响Morlet复小波的。当你要消噪或研究高频信息，对于同一个数据信号cmor15-2肯定比cmor15-1更能消除细小的噪声和得到更高频率的信息。
fb越大时域宽度越长，支撑长度越长，产生高幅值的小波系数也多，在检测信号奇异性的时候往往希望能有一定数量的波峰波谷（在小波中就意味着较长的支撑和较高的消失矩），当然也不是越多越好，这要看待分析信号的情况，所以这玩意是你先设定，做完CCWT后，看看效果是否满意，再来根据你要研究信号或处理的目的，更改fc和fb的值，不是开始就确定它们（再说在处理之前你如何确定，即使你确定了又有啥意义，在CCWT之前的一切确定是毫无意义的，只有出了结果反复修改你的设定才能最终用“确定”一词）。

总结：fc的大小影响的是小波的频率：fc越大，小波频率越大，因此当你要消噪或研究高频信息，fc增大的话更能消除细小的噪声和得到更高频率的信息。

fb影响的是小波的支撑长度，fb越大，时域宽度越长，支撑长度也越长，产生高幅值的小波系数也就越多，
－、绘制原理

1需要用到的小波工具箱中的三个函数

COEFS = cwt(S,SCALES,'wname')

说明：该函数能实现 连续小波变换 ，其中S为输入信号，SCALES为尺度，wname为小波名

称。

FREQ = centfrq('wname')

说明：该函数能求出以wname命名的母小波的中心频率。

F = scal2frq(A,'wname',DELTA)

说明：该函数能将尺度转换为实际频率，其中A为尺度，wname为小波名称，DELTA为采样

周期。

注：这三个函数还有其它格式，具体可参阅 matlab 的帮助文档。

2尺度与频率之间的关系

设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率Fa为

Fa＝Fc×fs/a

(1)

显然，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范围应为(2Fc,inf),其中inf表示

为无穷大。在实际应用中，只需取尺度足够大即可。

3尺度序列的确定

由式(1)可以看出，为使转换后的频率序列是一等差序列，尺度序列必须取为以下形式：

c/totalscal,,c/(totalscal-1),c/4,c/2,c

(2)

其中，totalscal是对信号进行 小波变换 时所用尺度序列的长度(通常需要预先设定好)，

c为一常数。

下面讲讲c的求法。

根据式(1)容易看出，尺度c/totalscal所对应的实际频率应为fs/2，于是可得

c=2×Fc/totalscal

(3)

将式(3)代入式(2)便得到了所需的尺度序列。

4时频图的绘制

确定了小波基和尺度后，就可以用cwt求小波系数coefs(系数是复数时要取模)，然后

用scal2frq将尺度序列转换为实际频率序列f，

最后结合时间序列t，用imagesc(t,f,abs(coefs))便能画出小波时频图。

注意：直接将尺度序列取为等差序列，例如1:1:64，将只能得到正确的尺度－时间－小

波系数图，而无法将其转换为频率－时间－小波系数图。这是因为此时的频率间隔不为

常数。

此时，可通过查表的方法将尺度转化为频率或直接修改尺度轴标注。同理，利用本帖所

介绍的方法只能得到频率－时间－小波系数图，不能得到正确的尺度－时间－小波系数

图。

二、应用例子

下面给出一实际例子来说明小波时频图的绘制。所取仿真信号是由频率分别为100Hz和2

00Hz的两个正弦分量所合成的信号。

clear;

clc;

fs=1024; %采样频率

f1=100;

f2=200;

t=0:1/fs:1;

s=sin(2pif1t)+sin(2pif2t);

%两个不同频率正弦信号合成的仿真信号

%%%%%%%%%%%%%%%%%小波时频图绘制%%%%%%%%%%%%%%%%%%

wavename='cmor3-3';

totalscal=256;

%尺度序列的长度，即scal的长度

wcf=centfrq(wavename);

%小波的中心频率

cparam=2wcftotalscal;

%为得到合适的尺度所求出的参数

a=totalscal:-1:1;

scal=cparam/a;

%得到各个尺度，以使转换得到频率序列为等差序列

coefs=cwt(s,scal,wavename);

%得到小波系数

f=scal2frq(scal,wavename,1/fs);

%将尺度转换为频率

imagesc(t,f,abs(coefs));

%绘制色谱图

colorbar;

xlabel('时间 t/s');

ylabel('频率 f/Hz');

title('小波时频图');

程序运行结果如下：

说明：(1)应用时只须改变wavename和totalscal两个参数即可。

(2)在这个例子中，最好选用复的morlet小波，其它小波的分析效果不好，而且morlet小

波的带宽参数和中心频率取得越大，时频图上反映的时频聚集性越好。
首先生成一个信号：
设置fc=01:05:8,fb=10:10:80,观察生成的时频图，查看参数对小波变换的影响。

1 采样频率和信号点数之间的关系的影响

当采样频率fs与信号点数相同时，即倍数相同时，发现：

时间上为1s,  频率上显示的时真实值，这个时候时频图比较完美。此时参数为：fs=2^16,N=2^16,fc=15,fb=3,totalscal=2^7=128
增大fs,当fs为信号点数的两倍时，此时时间上为05s,频率坐标范围增大1倍，频率显示的仍是真实值。
减小fs,当fs为信号点数的一半时，此时时间上为2s,频率坐标范围减小1倍，频率显示的仍是真实值。仔细观察，此时的时频图上显示的有杂波。
   如果接着减小，当减小到原信号的1/4时，频率轴坐标为采样频率的一半，因此频率轴范围跟着缩小相同的倍数，这时由于采样频率小于信号的最大频率，此时频率轴显示的并不是频率的真实值。而且时频图出现了错误。所以 采样频率一定要大于信号的最大频率的2倍以上。
下面观察采样频率与信号点数之间的关系，尝试增大采样频率来找到与信号点数之间的限制。

     当信号点数与信号的最大频率近似相等时，设置采样频率为信号点数的2倍时，此时效果并不好，一方面有杂波，另一方面，采样频率与信号最高频率的两倍相离过小。
   当信号点数与信号的最大频率近似相等时，设置采样频率为信号点数的4倍时，此时效果比2倍时要好一点，但存在高频信号分辨率低，有少量杂波存在的问题
当采样频率增加过大时，会出现下列情况，效果反而不好
首先以下列参数设置为基准
fc的值增大从15增大到2，发现出现了严重的杂波：
将fc的值增大从15增大到3：

fc增大到5

fc增大到7：
当fc从15减少到1时，低频处有杂波出现而且频率分辨率明显降低。
当从15减少到05时：
     下面四张图分别是fb取20，40，80，120的值时的时频图，从中可以看出，fb的取值增大可以增大频率分辨率，但是不像fc的值那样敏感，当增大的范围过大时，也会在不同频率上出现杂波，但是相比fc变动引起的杂波来说很小。

     fb值减小时，频率分辨率会降低，有杂波出现，但是和增大fb时一样，杂波成分分布广但是较小。
     fb值减小时，频率分辨率会降低，有杂波出现，但是和增大fb时一样，杂波成分分布广但是较小。下图fb取值为1
基准：fs=2^15,N=2^15,fc=15,fb=3,totalscal=2^7=128  
增大尺度参数：从128增加到256
从128增加到512
从128增加到1024：
可以看出，当增大尺度值时，低频杂波分量出现，且数值较大，直接盖过信号频率分量

下面是减小尺度值的情况：

从128减小到64：
从128减小到32：
减小到16：
可以减尺度值，分辨率逐渐变差，但是无低频杂波分量出现。

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