椭圆方程公式

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原发布者:sf19801122
椭圆的标准方程高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴： F点在X轴1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)2）焦点在Y轴时，标准方程为：y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2(a^2-b^2)^05，焦距与长短半轴的关系：b^2=a^2-c^2,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c，c为椭圆的半焦距。又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0，n>0，m≠n)。即 F点在Y轴标准方程的统一形式。椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ标准形式的椭圆在(x0，y0)点的切线就是：xx0/a^2+yy0/b^2=1椭圆的一般方程Ax^2+By^2=C（A>0，B>0，且A≠B)。椭圆的参数方程x=acosθ，y=bsinθ。椭圆的极坐标方程(一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上)r=a(1-e^2)/(1-ecosθ)（e为椭圆的离心率）

若椭圆的方程为  ,点P 

在椭圆上，则过点P椭圆的切线方程为

证明：椭圆为  ,切点为  ,则 

对椭圆求导得  , 即切线斜率

 ,

故切线方程是 

代入并化简得切线方程为  。

扩展资料：

切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。分析方法有向量法和解析法。

定义

切线方程是研究切线以及切线的斜率方程。

椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹， 也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1的常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。 椭圆在方程上可以写为：x^2/a^2+y^2/b^2=1，它还有其他一些表达形式，如参数方程表示等等。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，即行星轨道是椭圆，以恒星为焦点。

设椭圆方程是
x^2/a^2+y^2/b^2=1
两边对x求导有
2x/a^2+2yy'/b^2=0
y'=-xb^2/(a^2y)
因为求导表示的是切线斜率
简单来说,假设某点（x0,y0)在椭圆上
那么过这点的椭圆切线斜率为k=-x0b^2/(y0a^2)
过这点的切线方程是：
y-y0=-x0b^2/(y0a^2)(x-x0)
整理得
xx0b^2+yy0a^2=y0^2a^2+x0^2b^2=a^2b^2
即 过点(x0,y0)的切线方程是
xx0/a^2+yy0/b^2=1
希望可以帮到你，谢谢，望采纳。

1焦距=6，即c=3。长轴（2a）与短轴（2b）和=18。列出方程：2a+2b=18
；a²-b²=c²=9。
联立方程组，解得a=5，b=4。所以，椭圆的方程为x²/25+y²/16=1。
2已知焦点坐标，即c=根号3。又因为点过（2，1）。所以，列出方程：2²/a²+1²/b²=1；a²-b²=c²=3
联立方程组，解得a=2，b=1。所以，椭圆的方程为x²/4+y²/1=1。

椭圆法线方程
俄想要的_伱给不起20-10-01举报分享
好评回答

椭圆法线方程是Y-y=-1/y’（X-x），椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1和F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹。
椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。抛物线和双曲线都是开放的和无界的。椭圆在物理，天文和工程方面很常见。

椭圆的参数方程x=acosθ,y=bsinθ。

(一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上)

r=a(1-e^2)/(1-ecosθ)

(e为椭圆的离心率=c/a)

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解

x=a×cosβ， y=b×sinβ a为长轴长的一半

相关性质

由于平面截圆锥(或圆柱)得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥曲线(也称圆锥截线)。

例如:有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆(用上面的第一定义):

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知:截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆

例:已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3

1求椭圆C的方程

2直线l:y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值

3在⑵的基础上求△AOB的面积

一、分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义)，可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√(a^2-c^2)=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，

二、要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-15,y2=-05利用弦长公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括号表示绝对值)弦长=3√2/2，对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大。

过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2,-2结合图形m=-2x=15,y=-05,p(15,-05)。

三、直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得√2/2，面积1/2√2/23√2/2=3/4。

扩展资料

1、范围:焦点在x轴上-a≤x≤a -b≤y≤b;焦点在y轴上-b≤x≤-b -a≤y≤a

2、对称性:关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点:(a，0)(-a，0)(0，b)(0，-b)

4、离心率:e=c/a

5、离心率范围 0<e<1

6、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆

7焦点 (当中心为原点时)(-c，0)，(c，0)

参考资料：

椭圆的百度百科

椭圆的标准方程共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1，（ab0）。

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²=1，（ab0）。

其中a²-c²=b²，推导：PF1+PF2F1F2（P为椭圆上的点F为焦点）。

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

相关信息：

1、如果在一个平面内一个动点到两个定点的距离的和等于定长，那么这个动点的轨迹叫做椭圆。

2、椭圆的图像如果在直角坐标系中表示，那么上述定义中两个定点被定义在了x轴。若将两个定点改在y轴，可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程。

3、在方程中，所设的称为长轴长，称为短轴长，而所设的定点称为焦点，那么称为焦距。在假设的过程中，假设了，如果不这样假设，会发现得不到椭圆。当时，这个动点的轨迹是一个线段；当时，根本得不到实际存在的轨迹，而这时，其轨迹称为虚椭圆。

这是中点弦问题，你先设出椭圆标准方程，再设出PQ的坐标，分别带入方程，做差，化简，你会得到一个与中点和直线斜率的式子，把中点与斜率带入关系式，你会得到一个关于a，b的关系，然后再由c等于2，再得到一个关于a，b的关系式，最后联立，得到a，b的值。 你做差后会有一个平方差公式样子的式子，你把它展开移项，X归一边，Y归一边，弄成比列式的。你会看到的，我是用手机回答的，具体的式子不好打出来，你自己按照我的说法试试，会有结果的，这样你会记得更牢！ 做差就是PQ点带入椭圆方程后的两个式子进行做差。 中点不是二分之X1＋X2，二分之Y1＋Y2，斜率（Y1－Y2）／（X1－X2）嘛。这些根据题目都可以整体求出的啊。

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