语法 POISSON(x,mean,cumulative)
X 事件数。
Mean 期望值。
Cumulative 为一逻辑值，确定所返回的概率分布形式。如果 cumulative 为 TRUE，函数 POISSON 返回泊松累积分布概率，即，随机事件发生的次数在 0 到 x 之间（包含 0 和 1）；如果为 FALSE，则返回泊松概率密度函数，即，随机事件发生的次数恰好为 x。
说明
如果 x 不为整数，将被截尾取整。
如果 x 或 mean 为非数值型，函数 POISSON 返回错误值 #VALUE!。
如果 x < 0，函数 POISSON 返回错误值 #NUM!。
如果 mean ≤ 0，函数 POISSON 返回错误值 #NUM!。
举个例子：某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个
(0 1000 + 1 90000 + 2 6000 + 3 3000) / 100000 = 111
数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和
0 001 + 1 09 + 2 006 + 3 003 = 111
概率密度一般的写法是：P(X=a) = …，即X等于某个值a的可能性
累积分布一般的写法是：P(X<=a) = …，即X小于等于某个值a的所有可能性累加之和
这二者千万别弄混，否则就会被各种公式绕晕。下图是增量分布的概率密度图（橙色）和累积分布图（蓝色）。
(1) 离散分布：
伯努利分布（零一分布，两点分布），二项分布，几何分布，泊松分布（Poisson分布）
(2) 连续分布：
指数分布，正态分布（高斯分布），均匀分布
(3) 抽样分布：
卡方分布（X 2 分布），F分布，T分布
(4) 其它分布：
多项分布，Beta分布，Dirichlet分布
(1) 应用场景
应用于两种实验结果。要么成功，要么失败，一定程度上是二元的性质。比如：一个硬币抛一次人结果。
(2) 描述
进行一次事件试验，该事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p，任何一个只有两种结果的随机现象都服从0-1分布。
(1) 应用场景
在独立n次实验中成功次数，比如：一个硬币抛n次，k次正面朝上。
(2) 描述
上图是n=100, p=05（抛硬100次, 每一枚硬币正面朝上的概率为05），图中横轴为正面朝上的次数，纵轴为概率，可以看出正面朝上50次的可能性最大，为008左右。
(1) 应用场景
某一区间内发生随机事件次数的概率分布，比如：每小时出生3个婴儿，某网站平均每分钟有2次访问。
(2) 描述
一个离散型随机变量X 满足：
这样看起来就很抽象了，推荐看一看参考中的《如何通俗理解泊松分布》，简单地说一下上述公式怎么用，以出生婴儿为例，λ是每小时出生的婴儿的平均数，k是3个婴儿，P(X=3)是每小时出生3个婴儿的概率。从λ中我们就能看出单位时间和发生事件的大概关系。
上图是λ=2时（平均每小时出生2个婴儿），出生0个的概率为014，出生1个的概率为027…
(1) 应用场景
第一次成功所进行的试验次数，比如：考几次能通过，抛几次硬币能出现正面。
(2) 描述
几何分布由n次伯努利分布构成，随机变量X表示第一次成功所进行试验的次数
从公式中很容易看出，经历了k-1次不中，和一次命中，以抛硬币为例，P(X=3)是抛三次能抛到一次正面向上概率，前两次都是背面朝上，第三次正面朝上。如果单个硬币正面朝上的概率为05，那么期望是2次。 与二项分布相比，二项分布是抛n次硬币，有几次正面朝上，几何分布是抛几次出现第一次正布朝上。
上图是p=05时的几何分布，横轴是次数，可见抛一次就中的可能性最大为05，两次中的可能性为025…，次数越多，概率越小，整体平均下来基本是两次左右，因此，期望为2。从期望就可以看出，抛第几次能出正面，主要还是取决于硬币本身正面朝上的概率。
(1) 应用场景
两次随机事件发生时间间隔的概率分布，比如：婴儿出生的时间间隔，网站访问的时间间隔。
(2) 描述
指数分布满足以下概率密度函数公式
λ> 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间内发生某事件的次数，还是生小孩为例，公式中的x是生两个孩子的时间间隔。
假设平均每一小时出生两个婴儿，则单位时间1小时出生2个婴儿，λ=2，期望e=05（平均间隔05小时），如左图所示。
假设平均每两小时出生一个婴儿，则单位时间1小时出生05个婴儿，λ=05，期望E=2（平均间隔2小时），如右图所示。 λ越大，曲线下降越快，可见，指数分布是几何分布的加强版。
上图中x轴是时间间隔，y轴是概率，不是说概率之和为1吗？为什么间隔为0的概率大于1呢？因为这是连续分布，某一点概率大于1（但它所在区域很窄），也不影响函数线下面积之和为1。
(1) 应用场景
连续型数据或者数据离散性小，数据基本符合正态分布特点。比如：群体的身高，智商，考试分数（中间多两边少）。
(2) 描述
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差o^2 为的高斯分布，记为N(μ，o^2)
上图是μ=1, o=20的正态分布，简单地说，就是基本都分布在以μ为中心，分散在o范围之内，比如：全班平均分80分，考100的也少，不及格的也少。
(1) 一些概率
i 抽样
如果整体样本可以一个一个判断叫普查，如果整体样本太多，没法一个一个判断，只能取一部分代表整体，叫抽样。
ii 统计量
统计量是根据样本数据计算出来的一个量，他是样本的函数，通常我们所关心的样本统计量有品均数、样本标准差等等。
iii 抽样分布
抽样分布也称统计量分布，以样本平均数为例，它是总体平均数的一个估计量，如果按照相同的样本容量，相同的抽样方式，反复地抽取样本，每次可以计算一个平均数，所有可能样本的平均数所形成的分布，就是样本平均数的抽样分布。卡方分布，T分布，F分布都是抽样分布。
(2) 卡方分布
设 X1,X2,Xn相互独立, 都服从标准正态分布N(0,1), 则称随机变量χ 2=X1 2+X2 2++Xn 2所服从的分布为自由度为 n 的χ2分布
(3) T分布
设X1服从标准正态分布N(0,1)，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量t=X1/((X2/n)^(1/2)) 所服从的分布为自由度为n的t分布。
(4) F分布
设X1服从自由度为m的χ2分布,X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布，其中第一自由度为m,第二自由度为n 。
(1) 几种常见的分布
>概率密度函数图形是有“界”的（若无界则不可积，即其分布会不存在），而分布函数图形是无界的。
从数学上看，分布函数f(x)=p(x<=x)
概率密度f(x)是f(x)在x处的关于x的一阶导数，即变化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域δx，那么，随机变量x落在(x,
x+δx)内的概率约为f(x)δx，即p(x<x<
x+δx)
换句话说，概率密度f(x)是x落在x处“单位宽度”内的概率。“密度”一词可以由此理解。
方法一：逆变换法（Inverse Transform Method）
逆变换法的基本思路是利用累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）和均匀分布随机数产生非均匀分布的随机数。对于泊松分布，其概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）可以表示为：
$$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$
其中 $\lambda$ 是泊松分布的参数，$k=0,1,2,$。
泊松分布的累积分布函数为：
$$F(X\leq k)=\sum_{i=0}^{k}\frac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda}$$
为了得到一个泊松分布随机数 $X$，我们可以先生成一个均匀分布随机数 $U$，然后通过下面的逆变换公式计算出 $X$：
$$X=\max{k:U \leq F(X\leq k)}$$
其中 $\max$ 表示取最大值，$k$ 是泊松分布的取值范围，从 $0$ 开始逐渐增加。
方法二：拒绝采样法（Rejection Sampling）
拒绝采样法的基本思路是构造一个可以包含目标分布的“包络线”分布，并利用该分布来生成目标分布的随机数。对于泊松分布，我们可以将其包含在参数为 $\lambda$ 的指数分布中，即：
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},& x=k\\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}$$
$$g(x)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}, \quad x=0,1,2,\dots$$
则有：
$$\frac{f(x)}{cg(x)}=\begin{cases}
1/c, & x=0,1,2,\dots\\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}$$
其中 $c$ 是一个常数，需要满足 $c\geq 1$。由于 $c$ 是常数，可以事先计算出来，所以我们可以先生成一个指数分布随机数 $Y$，然后再生成一个均匀分布随机数 $U$，最后判断 $Y$ 是否被接受，即：
- 如果 $Y=k$ 且 $U\leq \frac{f(k)}{cg(k)}$，则接受 $k$ 作为泊松分布的随机数；
- 否则，重新生成 $Y$ 和 $U$。
通过不断地重新生成 $Y$ 和 $U$，直到得到一个符合条件的随机数为止。
欢迎分享，转载请注明来源：内存溢出
微信扫一扫
支付宝扫一扫
评论列表（0条）