复数内积为什么要共轭

对于复数相乘,你需要先了解复数的来历。 复数域,通常被记为,是实数域的代数闭(algebraic closure),也就是说在实数域中加入所有的多项式的解所得到的代数延拓(algebraic extension)。很幸运的(或者说不幸的),我们发现复数域对于实数域的extension degree为2,所以我们可以选择一个basis,一般为(1,i) with ,则所有的复数都可以唯一地表示为的形式。类似的,我们也可以选择不同的basis,例如(1,) with 是一个上的不可约多项式的零点,那么同样的,任意一个复数都有一个唯一的表示。 而复数域上的乘法则是实数域上的乘法的唯一延拓,也就是说它的定义是由实数域上乘法定义的,再简单的说,就是这是唯一一个满足交换律,对加法的交换律,以及所有非零元都有逆元的运算,使得当我们把这个运算限制在上时,它和实数域上的乘法是一样的。 所以可以看到这个乘法一个代数定义,不是从几何角度来的,复数并不是实数域上的一个vector,所以复数的乘法和vector的内积外积并没有直接的联系。

矩阵的内积参照向量的内积的定义是：两个向量对应分量乘积之和。

比如: α=(1,2,3), β=(4,5,6)

则 α, β的内积等于 14 +25 + 36 = 32

α与α 的内积 = 11+22+33 = 14

设Ann=[aij](其中1<=i,j<=n)，Bnn=[bij](其中1<=i,j<=n)；

则矩阵A和B的内积为C1n=[∑(i=1到n求和)aijbij](其中1<=i,j<=n)。

此时内积C1n为1行，n列的矩阵。

举例子矩阵A和B分别为：

[1 2 3]

[4 5 6]

[7 8 9]

和

[9 8 7]

[6 5 4]

[3 2 1]

则内积为：

[19+46+73 28+55+82 37+64+19] = [54 57 54]

扩展资料

在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

设λ1，λ2，…，λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1，2，…，m)，则x1，x2，…，xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

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