增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是什么？

增广矩阵的秩代表对应非齐次方程解向量的个数，系数矩阵的秩代表系数对应的齐次方程的解向量个数。

系数矩阵是矩阵中的众多类型之一，简单来说系数矩阵就是将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解 。系数矩阵常常用来表示一些项目的数学关系，比如通过此类关系系数矩阵来证明各项目的正反比关系。

矩阵的概念提出

矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。

1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。

首先，初等行变换不改变矩阵的秩，而秩是非零子式的最大阶数。系数矩阵，就是增广矩阵去掉最后一列，则它的可以如图判定。

相关介绍：

系数矩阵是矩阵中的众多类型之一，简单来说系数矩阵就是将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解。

系数矩阵常常用来表示一些项目的数学关系，比如通过此类关系系数矩阵来证明各项目的正反比关系。

增广矩阵（又称扩增矩阵）就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。

分情况进行讨论
设系数矩阵的秩为R(A),增广矩阵的秩为R(B)
当R(A)=R(B)=3,即-k^2+k+2不等于0,即k≠2且k≠-1时,方程组有唯一解
当k=2时,R(A)=2,R(B)=3,方程组无解
当k=-1时,R(A)=R(B)=2,方程组有无穷解

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目

增广矩阵通常用于判断矩阵的解的情况：

当

时，方程组无解；

当

时，方程组有唯一解；

当

时，方程组无穷解；

不可能，因为增广矩阵的秩大于等于系数矩阵的秩。

扩展资料：

方程组的解与矩阵（增广、系数）秩的关系：

只有当系数矩阵和增广矩阵的秩相等时方程组才有解且对应齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为n-r(系数矩阵)具体总结如下：设A为系数矩阵,（A,b）为增广矩阵,

秩（A)<秩（A b) 方程组无解；

r（A)=r（A b)=n,方程组有唯一解；

r（A)=r（A b)<n,方程组无穷解。

参考资料来源：百度百科-秩 （线性代数术语）

如果一个行列式的所有r+1阶子式为0，但至少有一个r阶子式不为0，那么就称r为行列式的秩。

增广矩阵的秩与一般矩阵的秩表示的几何意义相同。增广矩阵的秩与矩阵A的秩相同时，则表明增广矩阵所张成的空间与与A所张成的空间相同，表明了b在A所张成的空间中。此时非齐次线性方程组有解。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。

扩展资料：

矩阵的秩的应用

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有解。

在这种情况下，如果它的秩等于方程（未知数）的数目，则方程有唯一解；如果秩小于未知数个数，则有无穷多个解。在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。

参考资料：

百度百科-增广矩阵

参考资料：

百度百科-秩

显然系数矩阵的列向量，都是增广矩阵的列向量，因此
他们公共部分的列向量，是相同的列向量组，秩相等。
但因为增广矩阵的列向量，比系数矩阵多1个列向量。
如果这个多出来的列向量，不能被左侧的列向量组线性表示，则
增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩+1
否则（这个多出来的列向量，可以被左侧的列向量组线性表示），两者秩相等。

增广矩阵又称（扩增矩阵）就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值
分情况进行讨论
设系数矩阵的秩为r(a),增广矩阵的秩为r(b)
当r(a)=r(b)=3,即-k^2+k+2不等于0,即k≠2且k≠-1时,方程组有唯一解
当k=2时,r(a)=2,r(b)=3,方程组无解
当k=-1时,r(a)=r(b)=2,方程组有无穷解

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