函数的偏导数,方向导数和梯度怎么计算

1、当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。

方向导数和梯度计算方法如下图：

扩展资料：

偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。

我的理解是，函数的偏导数与求导次序无关，而只取决于求导方向，至于为什么，我也解释不清楚。在后面，楼主还会学到多重积分，里面有个重要的技巧就是转换积分次序，应该也是函数的偏导数与求导次序无关的一个佐证。

郭敦荣回答：
二元函数z=f（x，y）的二阶偏导数共有四种情况：
（1）∂z²/∂x²=[∂（∂z/∂x）]/ ∂x；
（2）∂z²/∂y ²=[∂（∂z/∂y）]/ ∂y；
（3）∂z²/（∂y ∂x） =[∂（∂z/∂y）]/ ∂x，；
（4）∂z²/（∂x∂y） =[∂（∂z/∂x）]/ ∂y
其中，∂z²/（∂y∂x），∂z²/（∂x∂y）称为函数对x，y的二阶混合偏导数，其求法上面已给出了基本公式，下面举例说明，
设二元函数z=sin（x/y），求∂z²/（∂y∂x），∂z²/（∂x∂y），
解∵∂z/∂x=（1/y）cos（x/y），∂z/∂y=（－x/y²）cos（x/y），
∴∂z²/（∂y∂x） =[∂（∂z/∂y）]/ ∂x=（－1/y²）cos（x/y）+（x/y^3）sin（x/y）。
∂z²/（∂x∂y） =[∂（∂z/∂x）]/ ∂y=（－1/y²）cos（x/y）+（x/y^3）sin（x/y）。

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