二次积分的计算方法公式

利用直角坐标和极坐标计算二重积分教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。

化为二次积分。

∫∫(x+y)dxdy＝∫(0～1)dx∫(1～2) (x+y)dy＝∫(0～1) (x＋3/2)dx ＝1/2＋3/2＝2

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

扩展资料：

几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

例如二重积分,其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积

参考资料来源：百度百科-二重积分

把二重积分化成二次积分，也就是把其中一个变量当成常量比如Y，然后只对一个变量积分，得到一个只含Y的被积函数，再对Y积分就行了。

计算二重积分的基本思路是简化积分计算思想，即把二重积分尽可能的转化为累次积分。

为此，必须注意：选取适合坐标，是否分域，如何定限。计算二重积分的主要方法有：利用对称性、奇偶性、变量替换、几何意义化简，利用直角坐标或极坐标化为二次积分，利用分域法，交换积分次序等能大大简化二重积分的计算，只要方法选得适当，二重积分的运算量就会小很多。

二重积分的现实（物理）含义：面积×物理量＝二重积分值；

举例说明：二重积分的现实（物理）含义：

二重积分计算平面面积，即：面积×1＝平面面积；二重积分计算立体体积，即：底面积×高＝立体体积；二重积分计算平面薄皮质量，即：面积×面密度＝平面薄皮质量。

扩展资料：

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

二重积分经常把直角坐标转化为极坐标形式主要公式有x=ρcosθ y=ρsinθ x^2+y^2=ρ^2 dxdy=ρdρdθ；极点是原来直角坐标的原点以下是求ρ和θ范围的方法：

一般转换极坐标是因为有x^2+y^2存在,转换后计算方便题目中会给一个x,y的限定范围，一般是个圆将x=ρcosθ y=ρsinθ代进去可以得到一个关于ρ的等式；

就是ρ的最大值 而ρ的最小值一直是0过原点作该圆的切线,切线与x轴夹角为θ范围如：x^2+y^2=2x 所以(ρcosθ)^2+(ρsinθ)^2=2ρcosθ ρ=2cosθ ；此时0≤ρ≤2cosθ 切线为x=0 所以 -2/π≤θ≤2/π

扩展资料：

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D。

参考资料来源：百度百科-二重积分

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