L为平面上任意不经过原点的逆时针圆周，试计算封闭曲线积分∫L（xdy-ydx）（x^2+4y^2

1、当原点不在曲线内时，P=-y/(x²+4y²)，Q=x/(x²+4y²)，P、Q在L内具有一阶连续偏导数
计算得：∂P/∂y=∂Q/∂x，由格林公式易得封闭曲线上积分为0，本题结果=0
2、当原点在曲线内时，此时P、Q在(0,0)无定义，所以上面的方法不能用。
作曲线L1：x²+4y²=ε²，逆时针，ε充分小，使得L1与L不相交；
用 L1- 表示L1的反向曲线（注意负号是上标）
则P、Q在(L+L1-)所围区域内具有一阶连续偏导数，可以使用格林公式
∫(L+L1-)（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)
=∫∫ (∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy
=0
因此得：∫L（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)=∫L1（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)
下面计算L1上积分即可
∫L1（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)
注意在L1上x²+4y²=ε²
=(1/ε²)∫L1 (xdy-ydx)
格林公式
=(1/ε²)∫∫ 2 dxdy
=(2/ε²)∫∫ 1 dxdy
被积函数为1，积分结果为区域面积，椭圆面积为：πab=πε²/2，其中a=ε，b=ε/2
=(2/ε²)(πε²/2)
=π

曲线积分公式：w=Gh。

在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。

直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。

数学学习方法：

1课后复习：每天课后除了完成老师的作业外，首先把当天的知识回顾一遍，尤其是对作业中的错题要进行整理，把错题摘抄到错题本上，把错题原因、解决方法总结一下，再把错题重新做一遍。加深印象。概念性的知识点，做到背熟。

2把错题收集在错题本上，按照课后复习里提到的错题整理方法把错题再梳理一遍。最后再了解一下自己的分数在班级或年级成绩里是一个什么档次。这并不是过分在意分数，而是了解自己实力的好办法。

3举一反三：要尽可能掌握题型的多种解题方法，这样可以发散思维，培养自己的分析习惯。从而找出最优解，最佳答案。

4考前复习：在考试之前，一般不会过多的去做题了，只是把错题本拿出来再看看，把没有把握的，或有疑问的题再看看。

5考后总结：一般拿到卷子先看自己哪错了，分析一下错题，是不懂错的，还是粗心错的。

怎么算的我不会，真不会。但我知道你的那个替换的做法错在哪里。错在被积函数的积分是在整个封闭曲面积分，包括曲面上的点和曲面里面的点。但只有曲面上的点可以用x^2+y^2=z^2，里面的点x^2+y^2<z^2 。
附，先二后一这种方法其实一般用得不多(考研数学倒是很常见)，它的被积函数得是一元函数。这样整个被积函数f(z)，f(x)或者f(y)就能提到前面去(后一)，这样二重积分的被积函数就为1了，再二重积分的几何意义就可以用了。用z=a，x=b或者y=c去切对应曲面，计算截面面积(先二)。

求封闭曲线面积,必须知道曲线的函数表达式,然后,根据图形,看对x 或者对y求积分即可比如函数y=x^2,求x在（1,-1）之间和x轴围成的面积,那么,先对x求积分,得到y=1/3x^3,面积等于把x的上下限的积分差

第一类曲线积分就是把ds转化为dx的带根号的公式，但是要注意积分下限肯定小于积分上限……
第一类曲线积分，没有正方向的说法，方向怎么选都行了……要是只有一个曲线方程表达式，曲线方程也可以带入被积函数，因为被积函数上的所有点都是位于曲线上面的，满足曲线方程……要是有多个曲线，那么肯定不可以带入计算，原因是不是所有被积函数都满足其中一条曲线方程的，可能有的点在这个曲线上，有的点在那个曲线上面，所以不能带人的……
第二类曲线积分若为封闭曲线，也可以用格林公式，注意正方向的选取，特别是平面复连通区域……
加油吧，哥是今年调剂的研究生，考哈工大没有考上……

给你说说吧：第一类曲线积分必须是积分变量下限小于上限的，所以肯定是沿着坐标轴正方向的……
对于第二类曲线积分，没有正方向一说的，可以沿两个相反方向都行……，
但是你说的正方向，是格林公式了吧？对于格林公式的正方向，要是平面单连通，就是封闭曲线边界所围区域中没有空洞，那么由正方向可知，就是沿着逆时针，正好区域位于左手边……但是对于平面复连通区域，肯定就是边界曲线和形成空洞的曲线叠加了吧？区域就是两个曲线内部所夹的部分……取正方向的话，由沿线走为左手边可知，肯定外边界为逆时针，内边界（就是空洞曲线边界）就是顺时针，这样才能保证沿线走为左手边……
加油吧……哥是今年调剂的研究生……

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