到一点的距离公式是什么？

直线Ax+By+C=0 坐标（Xo，Yo）那么这点到这直线的距离就为：

公式描述：

公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

扩展资料：

点到直线距离是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度。目标在于通过对点到直线距离公式的推导，提高学生对数形结合的认识，加深用“计算”来处理“图形”的意识。

一、总公式：

设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为（Xo，Yo），则点 P 到直线 L 的距离为：

考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)

d=√((x1-x0)²+(y1-y0)²+(z1-z0)²-s²)

二、引申公式：

公式①：设直线l1的方程为  ；直线l2的方程为 

则 2条平行线之间的间距： 

公式②：设直线l1的方程为  ；直线l2的方程为 

则 2条直线的夹角  

两点间距离公式常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。

直线上两点间的距离公式：设直线  的方程为  ，点  ， 

为该线上任意两点，则这一公式即所谓圆锥曲线的弦长公式。若记  为直线AB的倾斜角，则同时，若已知直线公式和其中一个点，并且给定了距离，可以反求另一个点的坐标。

水平距离是指水平方向上的距离，也即没有高度差的距离。物理上是相对于地面作一平行线，分别过两点作垂线，垂足的距离就是水平距离。地理上，水平距离等高线就是在平面图纸上相邻等高线之间线与线之间的距离。

利用经纬仪测定两点间的水平距离和高差，传统的方法是利用望远镜的视距丝进行视距测量，此法误差大，计算公式又是一近似推导式，测量精度较低。用钢尺、水准仪直接量测水平距离和高差又费工费时，工作量大，尤其在地形复杂、障碍物多、起伏多变的地区，同样也会带来较大的误差。本文推出一种利用经纬仪测量竖直角、间接测算水平距离和高差的新方法，既提高精度，又提高功效，此方法称为“倾角法”。

求原点到曲线x³-xy+y³=1(x≥0,y≥0)的最短距离。

问题解析

二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法，再比较边界点到原点的距离，这些点中距离最大的为最大距离，最短的为最短距离

名师点评

本题考点：

利用拉格朗日乘数法求条件极值；空间两点间距离公式．

考点点评：

此题考查了两点距离公式，以及用拉格朗日乘子法求最值问题．在此要注意的是拉格朗日乘子法求得的是条件极值，再求最值时，一定要将极值点与边界点的函数值作比较，最后确定最值．

双曲线上一点到两焦点的距离公式：设点为M点，M点在左支上 ：MF1=ex+a（x为M点横坐标）；MF2=ex-a。 M点在右支上：MF1=-(ex+a）；MF2=-(ex-a) e为离心率。
一般的，双曲线（希腊语“ὑπερβολή”，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离[2] ）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。
分支
可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左轴与右轴；当焦点在y轴上时，为上轴与下轴。
双曲线焦点
在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。
双曲线准线
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。
顶点
双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
双曲线实轴
两顶点之间的距离称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为实半轴。
双曲线虚轴
在标准方程中令x=0,得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴
双曲线渐近线
双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。

一个点到一个曲线的最短距离，实际就是求最小值线性规划问题。即

min d=sqrt((x+2)²+(y-2)²)

st xy=2，x＞0

用matlab求最小值线性规划问题，可以用fmincon（）函数命令来解决。部分代码如下：

x0=rand(2,1);

lb=[0,0];ub=[];

[x,fval,exitflag]=fmincon(@(x)myfun(x),x0,[],[],[],[],lb,ub,@(x) mycon(x));

x=x(1);y=x(2);d=fval

运行结果

交点x=073205 y=27321 最短距离d=28284

验证：xy=2

如题，该距离公式借助双曲线的第二定义得出。因此，以下先说明双曲线的第二定义，再给出所涉距离公式。

1双曲线的第二定义：

①文字语言：若平面内点P与一定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e(e>1)，则点P的轨迹是双曲线。其中，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。

②集合语言：

③两点说明：

1）双曲线有两条准线：对于双曲线x²/a²－y²/b²=1相应于焦点F2（c,0）的准线方程是x=a²/c，根据双曲线的对称性，相应于焦点F1（－c,0）的准线方程是x=-a²/c；

2）据定义知，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

2借助第二定义表示双曲线上一点到两焦点的距离：

以点P在双曲线右支为例，类似地，可得出点P在左支的情形。

如图，不妨假设P(x。,y。)是双曲线x²/a²－y²/b²=1右支上任意一点，点F1（－c,0）、F2（c,0）分别是双曲线的左、右焦点：

①由点P(x。，y。)向右准线引垂线，垂足为D，则

②由点P(x。，y。)向右准线引垂线，垂足为E，则

3一点补充：

当点P在双曲线左支时，有：|PF1|=－(ex。+a)，|PF2|=－(ex。－a)

y=(1/25)x²+3设A(x₁,y₁)为曲线上任一点。B(x₂,y₂)为相应与曲线相切的圆的圆心坐标。所求曲线即为圆心点到与圆与曲线切点所在切线距离为3的点的集合。 设该切线为L，可知AB⊥L，且AB=3。又由题意可得曲线方程的导函数为(2/25)x。即点A(x₁,y₁)所在切线L的斜率为k₁=(2/25)x₁。直线AB的斜率k₂=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，因为AB⊥L，所以k₁k₂=-1，即(2/25)x₁(y₂-y₁)/(x₂-x₁)=-1；AB=3，即(y₂-y₁)²+(x₂-x₁)²=9。解方程好头痛，没解出来。但轨迹方程应该为y=(1/25)x²+3。

解析几何,建立方程求最值
具体方法是
1若在曲线不同侧,则连线最短(用两点间距离公式求)
2若不同侧
则把其中一点对称到曲线另一侧,求出对称点再与另一点连线,连线长为最小值
关键是对称点的求法:
设A(x,y)对称点A1(x1,y1),则
第一个方程:AA1的中点在曲线上即点[(x+x1)/2,(y+y1)/2]满足曲线方程(即可带入曲线方程)
第二个方程:AA1与曲线在AA1的中点处的切线垂直对曲线方程求导,导函数在点[(x+x1)/2,(y+y1)/2]处的值A与AA1的斜率B,满足关系:AB=-1
只要求出对称点,连线的长自然根据两点之间距离公式求出,即为所求最短距离

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