课题：数学的发展历史

算筹是中国古代的计算工具，真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三、四百年期间。

《算数书》成书于西汉初年，是传世的中国最早的数学专著，它是1984年由考古学家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中发现的。

《周髀算经》编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学著作，但是包括两项数学成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”——这是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法”。

《九章算术》在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。

它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期。

全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。

在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。

注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。

该书的一些知识还传播至印度和 ，甚至经过这些地区远至欧洲。

九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成。

中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物。

赵爽学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。

在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。

用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。

三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其著作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。

其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“3927/1250（31416）”。

他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。

在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。

另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论著。

南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作问世。

祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。

他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。

根据史料记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到31415926<π<31415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。

②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。

隋唐时期的主要成就在于建立中国数学教育制度，这大概主要与国子监设立算学馆及科举制度有关。

在当时的算学馆《算经十书》成为专用教材对学生讲授。

《算经十书》收集了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》等10部数学著作。

所以当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。

公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其《大衍历》中将其发展为不等间距二次内插公式。

从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。

中国古代数学以宋、元数学为最高境界。

在世界范围内宋、元数学也几乎是与 数学一道居于领先集团的。

贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。

遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。

秦九韶是南宋时期杰出的数学家。

1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。

16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。

另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。

李冶于1248年发表《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，在数学史上具有里程碑意义。

尤其难得的是，在此书的序言中，李冶公开批判轻视科学实践活动，将数学贬为“贱技”、“玩物”等长期存在的士风谬论。

公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。

公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。

公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。

郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。

公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。

朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。

14世纪中、后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，于是自此中国古代数学便开始呈现全面衰退之势。

明代珠算开始普及于中国。

1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的著作。

但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。

由于演算天文历法的需要，自16世纪末开始，来华的西方传教士便将西方一些数学知识传入中国。

数学家徐光启向意大利传教士利马窦学习西方数学知识，而且他们还合译了《几何原本》的前6卷（1607年完成）。

徐光启应用西方的逻辑推理方法论证了中国的勾股测望术，因此而撰写了《测量异同》和《勾股义》两篇著作。

邓玉函编译的《大测》〔2卷〕、《割圆八线表》〔6卷〕和罗雅谷的《测量全义》〔10卷〕是介绍西方三角学的著作。

此外在数学方面鲜有较大成就取得，中国古代数学自此便衰落了。

数学知识的原始积累

数学知识伴随着人类文明的产生而起源，并率先在几个文明古国开始了漫长的原始积累过程，人类的祖先为我们留下了珍贵的、可供研究的原始资料，最著名的古埃及象形文字纸草书和巴比伦楔形文字泥板书，较为集中地反映了古埃及数学和巴比的水平，它们被视为人类早期数学知识积累的代表。

古埃及纸草书，是用尼罗河流域沼泽地水生植物的茎皮压制、粘连成纸草卷，用天然涂料液书写而成的。

有两份纸草书直接书写着数学内容。

一份叫做“莫斯科纸草”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。

这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草”，现藏莫斯科美术博物馆。

另一份叫做“莱因特纸草”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有：“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。

这份纸草书于1858年被格兰人莱因特购得，后为博物馆收藏。

这两份草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法、整数四则运算、单位分数的独特用法、试位法、求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活初中中的应用问题。

古巴比伦泥板书，是用截面呈三角形的利器作笔，在将干未干的胶泥板上刻写而成的，由于字体为楔形笔划，故称之为楔形文字泥板，从19世纪前期至今，相继出土了这种泥板有50万块之多。

它们分别属于公元前2100年苏美尔文化末期，公元前1790年至公元前1600年间汉莫拉比时代和公元前600年至公元300年间新巴比伦帝国及随后的波斯、塞流西得时代。

其中，大约有300至400块是数学泥板，数学泥板中又以数表居多，据信这些数学表是用来运算和解题的。

这些古老的泥板，现在散藏于世界各地许多博物馆，并且被一一编号，成为我们研究巴比伦数学最可靠的资料。

巴比伦数学从整体上讲比古埃及数学高明，古巴比伦人采用60进位制记数法，并计算出倒数表、平方表、立方表、平方根表和立方根表，其中2的平方根近似为1414213。

巴比伦的代数有相当水平，他们用语言文字叙述方程问题及其解法，常用特殊的“长”、“宽”、“面积”等字眼表示未知量，除求解二次、三次方程的问题之外，也有一些数论性质的问题。

巴比伦的几何似乎没有古埃及的几何那么重要，只是收罗了一些计算简单图形的面积、体积的法则，也许他们只是在解决实际问题时才搞点几何。

此外，巴比伦数学中有很明显的商业、农业和天文的应用背景。

我们可以说，在人类早期数学知识积累过程中，由于计数物件的需要，产生了自然数，随着记数法的产生和发展，逐渐形成了运算，导致算术的产生；由于计量实物的需要，产生了简单的几何，随着农业、建筑业、手工业及天文观测的发展，逐渐积累了有关这些的基本性质和相互关系的经验知识，于是几何学萌芽了；由于商业计算、工程计算、天文的需要，在算术计算技巧的基础上，逐渐积累起代数学基本知识。

但是，在这个阶段上，直到公元前6世纪，无论如何也找不到我们今天所谓的“理性的数学”，而只是一种初级的“经验的数学”。

表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间［法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当］，并以空位表示零。

算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。

在几何学方面《史记．夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理［西方称毕氏定理］的特例。

战国时期，齐国人著的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。

著名的有《墨经》中关於某些几何名词的定义和命题，例如：「圆，一中同长也」、「平，同高也」等等。

墨家还给出有穷和无穷的定义。

《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如「至大无外谓之大一，至小无内谓之小一」、「一尺之棰，日取其半，万世不竭」等。

这些许多几何概念的定义、极限思想和其他数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。

此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。

汉唐初创时期

这一时期包括从秦汉到隋唐1000多年间的数学发展，所经历的朝代依次为秦、汉、魏、晋、南北朝、隋、唐。

秦汉是中国古代数学体系的形成时期。

为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。

西汉末年［公元前一世纪］编纂的天文学著作《周髀算经》在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术的先驱。

此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。

《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书於东汉初年［公元前一世纪］。

全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属於方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。

主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关於勾股测量的计算等。

在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关於线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。

就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。

它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和 ，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。

魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。

其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。

赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对《周髀算经》做了详尽的注释。

刘徽注释《九章算术》，不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，且在论述过程中多有创新，更撰写《海岛算经》，应用重差术解决有关测量的问题。

刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。

南北朝时期的社会长期处於战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。

《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》就是这个时期的作品。

《孙子算经》给出「物不知数」问题，导致求解一次同余组问题；《张丘建算经》的「百鸡问题」引出三个未知数的不定方程组问题。

祖冲之、祖日桓父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。

他们同时在天文学上也有突出的贡献。

其著作《缀术》已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小数点后第六位，得到31415926 <π< 31415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113；(2)得到祖 日桓定理［幂势既同，则积不容异］并得到球体积公式；(3)发展了二次与三次方程的解法。

唐朝在数学教育方面有长足的发展。

656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》［包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》］，作为算学馆学生用的课本。

对保存古代数学经典起了重要的作用。

宋元全盛时期

唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。

从公元十一世纪到十四世纪［宋、元两代］，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。

这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》［11世纪中叶］，刘益的《议古根源》［12世纪中叶］，秦九韶的《数书九章》［1247］，李冶的《测圆海镜》［1248］和《益古演段》［1259］，杨辉的《详解九章算法》［1261］、《日用算法》［1262］和《杨辉算法》［1274-1275］，朱世杰的《算学启蒙》［1299］和《四元玉鉴》［1303］等等。

高次方程数值解法； 天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；

大衍求一术，即一次同余式组的解法，现在称为中国剩余定理；

招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数求和。

另外，其他成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图［幻方］的研究、小数［十进分数］具体的应用、珠算的出现等等。

这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和 国家之间的数学知识的交流也得到了发展。

西学输入时期

这一时期从十四世纪中叶明王朝建立到二十世纪清代结束共500多年。

数学除珠算外出现全面衰弱的局面，当中涉及到中算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的问题，不少中外数学史家仍探讨当中涉及的原因。

十六世纪末，西方初等数学开始传入中国，使中国数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。

鸦片战争后，近代高等数学开始传入中国，中国数学转入一个以学习西方数学为主的时期。

直到十九世纪末，中国的近代数学研究才真正开始。

明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，及至程大位的《直指算法统宗》［1592］问世，珠算理论已成系统，标志著从筹算到珠算转变的完成。

但由於珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。

隋及唐初，印度数学和天文学知识曾传入中国，但影响较细。

到了十六世纪末，西方传教士开始到中国活动，和中国学者合译了许多西方数学专著。

其中第一部且有重大影响的是意大利传教士利马窦和徐光启合译的《几何原本》前6卷［1607］，其严谨的逻辑体系和演译方法深受徐光启推崇。

徐光启本人撰写的《测量异同》和《勾股义》便应用了《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。

此外，《几何原本》课本中绝大部份的名词都是首创，且沿用至今。

在输入的西方数学中仅次於几何的是三角学。

在此之前，三角学只有零星的知识，而此后获得迅速发展。

介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》［2卷，1631］、《割圆八线表》［6卷］和罗雅谷的《测量全义》［10卷，1631］。

在徐光启主持编译的《崇祯历书》［137卷，1629-1633］中，介绍了有关圆椎曲线的数学知识。

入清以后，会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他坚信中国传统数学「必有精理」，对古代名著做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的 是有积极影响的。

与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人。

清康熙帝爱好科学研究，他「御定」的《数理精蕴》［53卷，1723］，是一部比较全面的初等数学书，对当时的数学研究有一定影响。

在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，例如有「谈天三友」之称的焦循、汪莱及李锐作出不少重要的工作。

李善兰在《垛积比类》［约1859］中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为「李善兰恒等式」。

这些工作较宋元时期的数学进了一步。

阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记《畴人传》46卷［1795-1810］，开数学史研究之先河。

1840年鸦战争后，闭关锁国政策被迫中止。

同文馆内添设「算学」，上海江南制造局内添设翻译馆，由此开始第二次翻译引进的 。

主要译者和著作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《几何原本》后9卷［1857］，使中国有了完整的《几何原本》中译本；《代数学》13卷［1859］；《代微积拾级》18卷［1859］。

李善兰与英国传教士艾约瑟合译《圆锥曲线说》3卷，华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译《代数术》25卷［1872］，《微积溯源》8卷［1874］，《决疑数学》10卷［1880］等。

在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今仍在应用。

1898年建立京师大学堂，同文馆并入。

1905年废除科举，建立西方式学校教育，使用的课本也与西方其他各国相仿。

近现代数学发展时期

这一时期是从20世纪初至今的一段时间，常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段。

中国近现代数学开始於清末民初的留学活动。

较早出国学习数学的有1903年留日的冯祖荀，1908年留美的郑之蕃，1910年留美的胡明复和赵元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何鲁，1913年留日的陈建功和留比利时的熊庆来［1915年转留法］，1919年留日的苏步青等人。

他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展做出重要贡献。

其中胡明复1917年取得美国哈佛大学博士学位，成为第一位获得博士学位的中国数学家。

1920年姜立夫在天津南开大学创建数学系，1921年和1926年熊庆来分别在东南大学［今南京大学］和清华大学建立数学系，不久武汉大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学陆续设立了数学系，到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系。

1930年熊庆来在清华大学首创数学研究部，开始招收研究生，陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。

三十年代出国学习数学的还有江泽涵［1927］、陈省身［1934］、华罗庚［1936］、许宝騄［1936］等人，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量。

同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的罗素［1920］，美国的伯克霍夫［1934］、奥斯古德［1934］、维纳［1935］，法国的阿达马［1936］等人。

1935年中国数学会成立大会在上海召开，共有33名代表出席。

但

赵爽是三国时期吴人，在中国历史上他是最早对数学定理和公式进行证明的数学家之一，其学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。

在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。

用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。

三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其著作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。

其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“3927/1250（31416）”。

他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。

在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。

另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论著

祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。

他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。

根据史料记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到31415926<π<31415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。

②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。

从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。

中国古代数学以宋、元数学为最高境界。

在世界范围内宋、元数学也几乎是与 数学一道居于领先集团的。

贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。

遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。

秦九韶是南宋时期杰出的数学家。

1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。

16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。

另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。

公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。

公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。

公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。

朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。

明代珠算开始普及于中国。

1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的著作。

但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。

南宋时期的主要科技成就
何忠礼
南宋是我国古代科学技术发展史上最为辉煌的时期之一，英国学者李约瑟曾说：“对于科学家来说，唐代不如宋代那样有意义，这两个朝代的气氛是不同的。唐代是人文主义的，而宋代叫着重科学技术方面……每当人们在中国的文献中查找一种具体的科技史料时，往往会发现它的焦点在宋代，不管在应用科学方面或纯粹科学方面都是如此。”此话当然不假，不过如果将南宋与北宋相比较，李约瑟上面所说的话，恐怕用在南宋会更恰当一些。别的不论，就以中国四大发明中的三大发明，即指南针、火药和印刷术而言，在南宋就获得了比北宋更大的进步和更广泛的应用，何况还有其他多方面科技成就。
一、从指南针到罗盘针
指南针在航海上的应用，始见于北宋末期，一般是让指南针浮在水面上，也就是使用“水浮法”以指南。但是“水浮多荡摇”，严重影响了它的精确度。到南宋时，指南针已从简单的指针，发展成为比较简易的罗盘针，据南宋陈元靓《事林广记》后集卷一一《器用类》介绍，办法是将一块天然磁石安装在木刻的指南龟腹内，在木龟腹下挖一光滑的小洞，对准了放在顶端尖滑的竹钉上。因支点处摩擦阻力很小，木龟便可自由转动以指南，这就是后来出现的旱罗盘的先声。又据吴自牧《梦梁录》卷一二《江海船舰》条载：“（船在大海中航行，）风雨晦冥时，惟凭针盘而行，乃火长掌之，毫厘不敢差误，盖一舟人之命所系也。”说明在针盘上面已有了刻度，否则就不存在“毫厘不敢差”的问题。可见在南宋后期，已出现了真正的罗盘针，并将它应用与航海上，这是一种具有世界意义的重大发明。
二、管形火器的出现
早在唐代，我国已将火药应用于军事上，成书于北宋后期的《武经总要》，记载了当时的火药武器有火球、火毬、火箭、铁嘴火鹞、毒药烟球等多种，它们具有燃烧、爆破、熏灼、放毒、放烟幕等作用。以投掷法或弓箭法进行施放。由于这些火器的直接杀伤力不大，所以应用并不广泛。到了南宋，火药武器开始得到大规模的使用和推广，并发明了管形火器。
绍兴二年（1132年），陈规守德安（今湖北安陆）时，发明了用长竹竿作为q筒以喷射火焰的“火q”，这可以说是世界上最早出现的原始管形火器。到了南宋后期，在此基础上发明了“突火q”，“以钜竹为筒，内安子窠，如烧放，焰绝然后子窠发出，如炮声，远闻百五十余步”。从而开创了世界上管形火器使用d丸的先河，成为远距离杀伤敌人的锐利火器。
三、农学的重大成就
南宋农业生产的技术和理论，也取得了重大成就，在绍兴后期陈旉所著的《农书》中有着充分的体现。该书与贾思勰的《齐民要术》不同，是以江南特别是长江三角洲的农桑为记述重点，是我国现存最早的有关南方农业生产技术与经营的农学著作。陈旉在《农书》中首先提出了土地利用规划的技术，论述了对各种土地的利用和改造之法，他是中国农学史上第一个对这一领域有研究的人。陈旉根据自己的农业实践，提出了“地力常新壮”的土壤肥力论，他说：“或谓土敝则草木不长，所衰则生物不遂。凡田土种三五年，其力已乏。斯语殆不然也，是未深思也。若能时加新沃之土壤，以粪治之，则益精熟肥美，其力当常新壮矣！抑何敝何衰之由？”同时介绍了堆粪、沤粪、火粪、粪屋等各种积肥方法。认为庄稼播种以后，施追肥是一个重要环节，但“用粪犹用药”，必须得宜和保持肥效。当时，一般农民的耕作技术也有了普遍提高，如稻麦两熟制、水旱轮作的耕作体系、“耕耙耖”三位一体的耕作体系在南宋境内都得到了较好的推广。
四、数学的巨大贡献
宋代数学的杰出成就，就是在《九章算术》开平方、立方的基础上，在世界上首先创造出一种新的方法，即对高次方程的数值解法。南宋数学家秦九韶，于淳祐七年（1247）撰成《数学九章》一书，分9大类共81个应用题，每类9题。书中的突出成就是秦九韶在贾宪等人关于高次方程数值解法的基础上，将其发展为任意高次方程的数值解法，即“正负开方术”。在解题中，他将高次方程中各系数列在一起，像“增乘开立方法”那样采用随乘随加的方法进行减根变换，在当时世界上尚无人能掌握此种计算方法。另外，他还首次对中国古代求解联立一次同余式方法进行系统介绍，并将它推广到各种数学问题中去，其计算步骤正确而又严密。在秦九韶之后五百多年，欧洲才有人对这一算法进行较为深入的研究。
南宋另一位杰出的数学家是杨辉，钱塘（今浙江杭州）人，他在南宋末年编撰有《详解九章算法》、《日用算法》、《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》、《续古摘奇算法》、《杨辉算法》等十余种数学著作。他在《日用算法》等书中还对乘除法进行了改革，发明了“九归口诀”，不仅提高了运算速度和精确度，而且还对我国明代珠算的发明起到了重要的推动作用。
五、医药学的全面发展
南宋的医药学，在唐和北宋的基础上，有了全面的发展，这与当时政府的重视有很大关系。南宋政府设翰林医官局，掌管医药卫生政令；又设太医局，内置教授和各科医生达百名左右，负责全国的医疗事业；设“医学”，培养医学人才；设药局，推广成药，兼及救济贫病之人。加之南宋海外贸易发达，外国药物大量传入中国，从而推动了医药学的发展。
南宋医药分科比过去更完备，每科几乎都有名医和名著。如南宋后期的陈自明，精通外科和妇科，其《外科精要》一书，着重论述痈疽，书中认为，治疗痈疽首先要分清是痈是疽，是虚是实，是冷是热，是轻是重，然后对症用药，并指出痈疽虽是外症与内脏密切相关。这种“合内外之道”的治疗思想，对指导外科的临床应用具有重要意义。
南宋是中国法医学正式形成的时期，其代表作有郑克的《折狱龟鉴》、桂万荣的《棠阴比事》、赵逸斋的《平冤录》、郑兴裔的《检验格目》和宋慈的《洗冤集录》等著作，其中尤以《洗冤集录》一书最为杰出。该书系统地记载了检验尸体的各种方法，具有相当高的科学性和实用性。书中还具体地介绍了使用人工呼吸、明矾蛋白解砒霜毒等急救方法，在医学上也有重要价值。宋慈提出的“滴血辨亲”法，更是我国历史上最早的血型概念的记录。本书作为世界上第一部司法检验专著，不仅奠定了我国古代医学的基础，而且被译成法、英、芬兰、德、日、俄等多种文字，对后来的世界法医学也产生了广泛影响。
当然，南宋的科技成就远远不只上面所提到的这些内容，其他如纺织、制瓷、造船、冶金、造纸、酿酒、地学、水利、天文历法、军器制造等方面的技术水平，都比过去有很大的进步。
论南宋财政岁入及其与北宋岁入之差异
高聪明
河北大学历史研究所副研究员、历史学博士
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人为什么要学数学？其实很多人并不清楚，甚至存在许多认识误区。有学生认为，“数学除了买东西的时候有点用，考试的时候有点用，没有多大的实际用途。”还有学生认为，“学数学一切为了高考，没有高考就没有人会学这些没有用的东西。”其实，数学是一个意义的领域。
1、数学意义——科学的立场
数学一直是形成人类文化的主要力量，通过数学这面镜子可以了解一个时代的特征。古希腊数学家强调严密的推理，他们关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，激发人们对理想和美的追求。所以，古希腊创造了后世很难超越的优美文学，理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕刻。中国古代数学崇尚实用，最大的缺点是缺少严格求证的思想。“数学和各种科学假说的数学化已经成为近代科学的脊梁骨”。一个时代的特征与这个时代的数学活动密切相关。17世纪以来，由于微积分的创立，借助微积分工具在寻求自然规律方面所取得的成功远远超出了天文学的领域。19 世纪，由于把微积分这个工具改进为严格的分析体系，使数学物理强有力的理论成为可能，最终导致了量子力学、相对论的诞生，使人们对物质和空间的基本性质有更深的了解。20 世纪 50 年代，数学的发展创造了计算机，数学从科学的幕后走向台前，数字化深入到了人类几乎所有的活动。
数学能像音乐一样，给人以巨大的心灵震撼。罗素在自传中这样写道：“我 11 岁时，我开始学习欧几里得几何学，哥哥做我的老师，这是我生活中的一件大事，就像初恋一样令人陶醉。我从来没有想象到世界上还有如此美妙的东西。”在人们的印象中，数学与艺术很少有共同之处，虽然它们都是人类智慧的结晶。然而，数学始终默默地伴随着艺术，为它提供丰富的灵感之源和坚实的创作支柱。数学能产生艺术的灵感，艺术也能使数学产生灵感。从斐波那契数列和圆周率的小数位数字，到四面体和麦比乌斯带，都可以作为艺术家创作的灵感。音乐是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受。法国数学家傅立叶证明了：所有的声音，无论是噪音还是仪器发出的声音，复杂的还是简单的声音，都可以用数学方式进行全面的描述。傅立叶的证明具有深刻的哲学意义。美妙的音乐以令人意想不到的美妙方式得到了数学描述，从而，艺术中最抽象的领域能转换成最抽象的科学；而最富有理性的学问，也有合乎理性的音乐与其密切相联。所以，数学是推理中的音乐，而音乐则是感觉中的数学。数学和建筑间的紧密联系应该没有什么可惊奇的。数学一直是建筑师们取之不尽用之不竭的创造源泉，是建筑设计与创新的宝贵工具。
不仅自然科学，各门社会科学也同样地不断求助于数学。随着数学与其它科学之间关系的更深入的揭示，数学又获得了一种新的称谓——伙伴。美国数学家斯蒂恩对数学与其它学科作了这样的比喻：许多有学问的人，特别是科学家和工程师，把数学想象成一棵知识之树，公式、定理和结论就像挂在树上的成熟的果实，让路过的科学家采摘，用以丰富他们的理论。数学家则与之相反，他们视数学如迅速生长的热带雨林，需要从数学之外的世界吸取养分，同时它又奉献给人类文明丰富的、变化无穷的智慧动植物。数学对其它学科做出了许多贡献，同时，这些学科正用一些有趣的新型问题向数学家发出了挑战，这些问题又导致了新的应用，且越基本的数学其用处更广。可以想象，随着人类社会的发展，数学会成为最基本的学科，会成为所有科学的框架。如果采用后现代谚语来说，就是几乎没有什么东西能够避开数学的“文本”。可以说，如果我们的世界里数学突然被抽走，人类社会将顷刻崩溃；如果我们的世界里数学被冻结，人类文明将即刻倒退。没有数学的文明是不可以想象的。
2、数学意义——教育的立场
学作为人的基本素质，在古希腊社会尤其明显。希腊哲人以知识为善，追求真善美乃是希腊教的宗旨。柏拉图认为数学是具备公民资格的前提，人的灵魂受到数学的陶冶之后，就有可能超凡脱俗，回到圣洁至上的理念世界而得到拯救。接受训练而能以逻辑和数学进行推理的人，将更有可能逃出无知的洞穴。数学不仅是人的基本素质，数学还能提升智能，增进才能。柏拉图认为，那些天性擅长算术的人，往往也敏于学习其它一切学科；而那些反应迟缓的人，如果受了算术的训练，他们的反应也总会有所改善。柏拉图特别强调，几何学中高深的东西能够帮助人们较为容易地把握善的理念。不知道基本的数学语言，不理解基本的数学符号，不掌握基本的数学推理，不懂得基本统计图表，这样的人将不能适应现代社会的快速发展。在信息社会，数学作为现代人的基本素质，已经越来越被人们所认识。数学以它的思维性、理性精神和优美性成为当今社会文化中的一个基础组成部分。可以说，没有数学，我们几乎不能很好地生活；没有数学，我们几乎不能很好地工作；没有数学，我们几乎不能很好地思考；没有数学，我们几乎不能很好地交流；没有数学，我们几乎不能很好地欣赏。
通过数学的学习，“能够促进学生的学习态度、思维习惯、思维模式、思维策略等的发展，让每个学生面对全新的情景都能做出适当的回应”。传统实证主义知识观将知识描述成线性积累和价值中立，忽略知识创造中人的活动，忽视知识所蕴涵的伦理意义。然而，知识本质上是一种社会建构，它必然体现人的价值选择，表现人的伦理关怀。数学也不例外，对于数学来说，它可以促进人的下列优秀品质的形成。
第一，诚实正直，崇尚真理。计算、证明并不是一个简单的 *** 作步骤或形式化过程，而是一系列的观点与洞察。数学结论对任何人都一样，必须接受理性法庭的裁决，对就是对，错就是错。数学计算、数学演绎、数学证明都不能靠投机取巧，而只能靠一步一步的计算与推理。通过数学的学习，可以培养诚实正直、以理服人、坚持真理、有错就改的优良品格。
第二，勤于思考，勇于创新。要启发人类这种独有的、高贵的创新能力，莫过于数学。没有哪一门学科能像数学这样集中、加速和强化人们的注意力。事实证明，数学家的成功并不在于他们的天赋有多高，而主要取决于他们的勤奋和创新。
第三，坚韧不拔，敢于攀登。几何中没有王者之路，数学研究需要有坚强的毅力。因为数学命题的证明犹如登山，只有那些坚忍不拔、勇于探索的人，才能达到胜利的彼岸。数学是一所优秀的思维学校，数学是一门睿智的训练学科，数学是一种抽象的思维模式。精确的数学语言让我们有条不紊地思考复杂的决策，而不是只凭轶事、猜测和雄辩。学习数学的人更能有效地进行思维，发展人的思维能力是数学重要的文化功能，没有数学就不会有有组织的逻辑思维。数学能使人们的思维方式严格化，养成有步骤地进行推理的习惯。
数学是打开机会大门的钥匙。数学不仅是科学的语言，而且以直接的方式为商业、财政、经济、国防做出贡献，为学生打开职业的大门。一个人懂得的数学越多，就会有更多的职业之门向他开放。今天，那些理解数学并且能做数学的人，将比那些不懂数学的人获得更多的机会。从保险公司统计员、系统分析家、营销专家、网络管理人，到金融分析家，等等。实际上，数学历来都在帮助教育当局甄别哪些学生应该得到社会的报酬这一点上起到重要的作用。在某种程度上，数学水平和能力的不同决定了一个人将来从事的职业和发展前景。在未来世界中，求职和晋升的最好机会将提供给那些有信心应付数学的人，作为科学和技术的基础，数学提供通向成功的钥匙。信息时代就是数学的时代，正如未来的科学家和工程师需要广泛的数学一样，未来的公民将需要极其多样的数学，以对付工作中大量以数学为基础的工具、设备和技术。当学生离开学校并进入工作生涯时，数学极大地决定了一个人能从事什么样的工作与不能从事什么样的工作。
在世界上所有的国家中，中小学的数学课程内容较为一致，具有突出的相似性。具体地说，各国选取的数学课程内容与社会的需求、数学的发展以及学生的发展密切相关。数学在课程中占据中心位置，在不同的国家或文化中，没有任何一门其它学科的教育时间有数学这样长。我们很少看到数学学得好而其它学科学得不好的学生。在中学里很少有这样的情况，即某个学生在数学上是第一名，而在其它学科上却属于最差的行列。反之，那些所谓“差生”，往往首先就是数学没有学好，数学对于这些学生而言竟然成了“筛子”。筛掉了他们的就业机会，筛掉了他们的发展机会。数学真正成了打开通向未来的大门，每个人的发展都依赖于数学教育的成功。在所有文明中，一代又一代的儿童学习数学以获得更加美好的生活。
3、对数学教育的启示
在数学课程改革的背景下，我们为什么要学习数学？数学对学生的发展意味着什么？数学到底要塑造学生什么？数学到底能塑造学生什么？这些问题看似平凡，实则非凡；看似简单，实则复杂；看似浅显，实则深远。其实，每个问题都是我们教育工作者必须弄清的数学教育哲学的基本问题。事实表明，无论是从人类文明的发展来看，还是从学生个人的发展来说，数学是一个不容忽视的意义的领域。数学是人类最高超的智力成就，是人类心灵最独特的创造，是人类文明的核心部分。数学是了解世界及其发展的主要钥匙之一。作为人类文明发展标志的数学，在人的发展中扮演着重要的角色。数学已成为个人参与社会的基本条件，每个人都需要学习数学。数学应该走进学生的生活世界，成为每个学生生活的组成部分，激发他们对生活的热爱，体现更多的人文关怀。数学应该促进学生的发展，震撼学生心灵，培养学生的好奇心，体现数学的文化价值。数学应该发展学生的能力，体现数学的思维价值。数学应该培养学生对美的追求，体现数学的艺术价值。从而，数学教学不是把数学各个领域的片段知识灌输给学生，不是把数学作为一个封闭系统，从那些完美的数学结论开始，而是从学生熟悉的现实生活、已有的数学经验开始，把数学作为一项人类的基本活动。应该少些强制，少些令人厌恶的机械训练。让学生思考！思考！再思考！教师不是为考试而教，学生不是为考试而学。数学不是无意义的符号，数学不是无意义的公式游戏，数学不是无意义的运算和推理。数学是一个意义的领域，数学并非虚无飘渺，其中萌动着思想的生命。今天，数学教育中的种种困惑与迷茫，都与数学意义的失落密切相关。走向意义的数学教育是时代的呼唤。在这里，数学意义不是一个逻辑概念，而是被理解为生命的表现。数学意义不是从文本中提炼出来的，而是从对话中创造出来的。数学意义蕴涵在运算和推理中，蕴涵在每一个数学概念的学习中，蕴涵在每一个数学定理的探究中，蕴涵在每一个数学问题的研究中。走向意义的数学教育要给每一个学生一片阳光，唤醒他们的心灵，成为学生难忘的人生经历。它让学生领略现代数学思想中令人鼓舞的概念，像夏天喝冰水那样令人清新。它让学生欣赏数学，感受数学定理与数学概念的美妙，像艺术那样令人振奋。它让学生发现优美定理、概念的形成过程创造出更有内涵、更有意义的数学文化，像呼吸那样顺乎自然。在数学教育中，当做题、考试、成绩成为数学教育关注的焦点时，数学就变成了一种无意义的诸多公式、定义、过程的罗列，数学意义——无论是科学意义还是教育意义——就离我们远去。然而，远离了意义的数学教育，也就从根本上远离了学生的生活。从而将数学知识局限于认识论的窠臼，片面强调数学知识的客观性、抽象性和确定性，遮蔽了数学知识所蕴涵的意义世界。所以，数学教育必须超越抽象的世界、符号的世界、逻辑的世界、知识的世界、绝对真理的世界以及升学工具的世界，迈向意义的世界。可以说，回归数学意义是每一个数学教育工作者神圣的使命。走向意义的数学教育理所当然应该成为新的教育方向，新的教育追求。

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数学的历史
数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。
中国古代数学的萌芽
原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。
西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。
公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。
而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。
墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。
名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。
中国古代数学体系的形成
秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。
《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。
这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。
《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。
中国古代数学的发展
魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。
刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为 157/50和 3927/1250。
刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。
东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在31415926～31415927之间；提出祖(日恒)原理；提出二次与三次方程的解法等。
据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；
祖冲之之子祖(日恒)总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。
隋炀帝好大喜功，大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。
唐初封建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。
算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。尤其是“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。
唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。
中国古代数学的繁荣
960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀之又进行翻刻。这些都为数学发展创造了良好的条件。
从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。
从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。
把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益。《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次方程和 1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。
秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母，常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早500多年。
元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术)，朱世杰得到一个四次函数的内插公式。
用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。
从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。
朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央，四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法，其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展，比西方同类方法早400多年。
勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了《九章算术》的不足。李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到九个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。
已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数，是一个解球面直角三角形的问题，传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括用会圆术和天元术解决了这个问题。不过他们得到的是一个近似公式，结果不够精确。但他们的整个推算步骤是正确无误的，从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。
中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多，改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元代。
宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学；莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义。所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素。
中西方数学的融合
中国从明代开始进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，宣传唯心主义哲学，施行八股考试制度。在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐衰落。
16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初，近代数学研究才真正开始。
从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》和《鲁班木经》的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。
随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广，影响很大。
1582年，意大利传教士利玛窦到中国，1607年以后，他先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《测量法义》一卷，与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》。1629年，徐光启被礼部任命督修历法，在他主持下，编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说。作为这一学说的数学基础，希腊的几何学，欧洲玉山若干的三角学，以及纳皮尔算筹、伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。
在传入的数学中，影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是中国第一部数学翻译著作，绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”，“举世无一人不当学”。《几何原本》是明清两代数学家必读的数学书，对他们的研究工作颇有影响。
其次应用最广的是三角学，介绍西方三角学的著作有《大测》《割圆八线表》和《测量全义》。《大测》主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性质，造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角。所有这些，在当时历法工作中都是随译随用的。
1646年，波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤柞、方中通等。穆尼阁去世后，薛凤柞据其所学，编成《历学会通》，想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内容主要有比例对数表》《比例四线新表》和《三角算法》。前两书是介绍英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等。方中通所著《数度衍》对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要，它在历法计算中立即就得到应用。
清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐《图解》、梅文鼎《梅氏丛书辑要》(其中数学著作13种共40卷)、年希尧《视学》等。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出现了生机。年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作。
清康熙皇帝十分重视西方科学，他除了亲自学习天文数学外，还培养了一些人才和翻译了一些著作。1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。1721年完成《律历渊源》100卷，以康熙“御定”的名义于1723年出版。其中《数理精蕴》主要由梅彀成负责，分上下两编，上编包括《几何原本》、《算法原本》，均译自法文著作；下编包括算术、代数、平面几何平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表。由于它是一部比较全面的初等数学百科全书，并有康熙“御定”的名义，因此对当时数学研究有一定影响。
综上述可以看到，清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。这些成果，如和传统数学比较，是有进步的，但和同时代的西方比较则明显落后了。
雍正即位以后，对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国，对内实行高压政策，致使一般学者既不能接触西方数学，又不敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。
随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释，出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。他们的工作，和宋元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数学比较，在时间上晚了一些，但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。
与传统数学研究出现高潮的同时，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记—《畴人传》，收集了从黄帝时期到嘉庆四年已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人)，和明末以来介绍西方天文数学的传教士41人。这部著作全由“掇拾史书，荃萃群籍，甄而录之”而成，收集的完全是第一手的原始资料，在学术界颇有影响。
1840年鸦片战争以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍西方数学。第二次鸦片战争后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学，组织翻译了一批近代数学著作。
其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《代数学》《代微积拾级》；华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》《微积溯源》《决疑数学》；邹立文与狄考文编译的《形学备旨》《代数备旨》《笔算数学》；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》《八线备旨》等等。
《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本；《代数学》是英国数学家德·摩根所著的符号代数学译本；《决疑数学》是第一部概率论译本。在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今还在应用，但所用数学符号一般已被淘汰了。戊戌变法以后，各地兴办新法学校，上述一些著作便成为主要教科书。
在翻译西方数学著作的同时，中国学者也进行一些研究，写出一些著作，较重要的有李善兰的《《尖锥变法解》《考数根法》；夏弯翔的《洞方术图解》《致曲术》《致曲图解》等等，都是会通中西学术思想的研究成果。
由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额，无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后，中国近代数学的研究才真正开始。

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