【抽象代数】类方程和有限群

随着前面我们对于群的结构的探索，在对群进行公理化描述之后，我们又探讨了群的结构，(正规) 子群，商群还有直积的概念。如果我们要在进一步，就需要专注于群最为本质的特点，即对称与变换，这是群的精髓所在，下面就让我们开始从类方程与群对于集合的作用开始吧。

设 X 是任意一个非空集合，我们已经知道，集合 X 的全体到自身的一一对应组成一个群 S(X), 称其为对称群或变换群，从历史的角度看，人们最早研究的都是某一集合上的变换群。直到现在，各种类型的变换群的研究仍是群论的一个重要部分。抽象群的概念正是从变换群而来。在群论中，一方面是把抽象群论中的结果应用到变换群上。另一方面也常利用变换群来研究抽象群的性质。前面提到的 凯莱定理 就是建立在这二者的联系。而群在集合上的作用便是一种可以体现抽象群和变换群联系的广泛的定义。

设 G 是一个群，X是一个非空集合。如果给了一个映射 , 适合条件：对所有的 ，满足 与 ，那么我们就说，f 决定了群G在集合 X 上的作用。在不需要明确映射 f 的情况下，常将 简写成 。前面提到过， 将 G 中的元素作了一个变换，同样 也是对陪集的一个变换。看来我们有必要将这样的变换提出来单独研究，变换是从一个群 G 作用到一个集合 X，结果还是在 X 中。用函数的方法表示这个变换： ，其中 。为了能用到群的性质，首先自然是是要求下式左成立（保持运算），其次还要求逆元能将元素还原，即 ，故还要求下式右成立。这样的变换一般叫 G 在 X 上的作用（action）。

作用的结果可以写成一张如下所示的表格，行为G列为X，从两个维度分别考察会得到有趣的结果。变换中最重要一类就是 的情况，其中g称为x的 稳定子 （stabilizer），x 所有的稳定子记作 ，容易证明它是一个子群。x 称为g的 不动元素 （fixed element），g 的所有不动元记作 。对所有 g 都不动的也叫 G 的不动元素，记为 ，它在研究问题时非常重要。接下来，分别从行、列两个方向研究这张表。

先从G的方向考察g(x)，即对于指定的x，g(x)的取值情况。g(x)的所有取值称为 x 轨道 （orbit），记作 。如果 ，则有 。故不同的 之间要么完全相同，要么没有交集，其中的元素是一个等价关系。轨道中只有一个元素的，便是 G 的不动元。

一个自然的问题是， 中究竟有多少元素？若 使得 ，则有 ，从而 同属于 的一个陪集。这就是说 中不同元素的个数为 。如果为所有轨道选一个代表 ，则有以下 类方程 。

另外，同属于一个轨道的稳定子有什么关系呢？假设g(x)=y，将 带入 ，则有 ，所以就得到 。这个性质让我们想到正规子群，即对任意 ，可有 。从而 G 作用下的一个轨道在 N 下有相同的稳定子，即那个轨道在 N 下被分成同样长的多个轨道。特别地，如果 G 下只有一个轨道，则 N 的每个轨道一样长。

最后再从X的方向考察 ，即对于指定的 的取值情况。首先若 ，则 ，即有 ，g 的作用是 X 上的一个置换。现在分别从行、列两个方向统计满足 都有元素对 ，有 ，整理便得到以下等式，它称为伯恩赛德（Burnside）定理，在组合数学中有广泛的应用。

不管是正规子群，还是上面的群的作用，其中都出现了 的身影。现在就让我们来对它进一步研究，令 X 是群 G 的所有子集的集合，考察群 G 在 X 上的变换 。满足 的子集S1,S2称为 共轭的 （conjugat），这个变换显然是一个作用，现在直接把上段的结论应用到这里来。
首先互为共轭的子集在同一轨道里，这个轨道一般叫做 共轭类 ，共轭类中的元素互为共轭。子集S的稳定子满足 ，它也称为S的 正规化子 ，记作 ，它是一个子群。这样一来，共轭类的中的元素和 的陪集一一对应，每个共轭类中有 个元素。进一步地，共轭类中每个元素的正规化子有以下关系，它们也形成一个共轭类。


现在来考虑一些特殊情况。首先，以上 X 中可以只取那些只有一个元素的子集，这个情况等价于 ，这就相当于定义了群元素间的共轭关系。群的元素在共轭的作用下分成了多个等价类，而不动元素 显然就是中心 C。如果中心元有 c 个，其它等价类 分别有 个元素 ，则类方程变成以下形式。

其次，还可以把 X 中的元素限定为子群，这就定义了 共轭子群 。共轭子群具有共轭子集一样的性质，只是在子集和其正规化子的关系上有本质不同。对一般子集，不一定有 ，而对于子群 H 不仅有 ，还有 。从另一个角度看， 其实是通过缩小 G 来使 H 成为正规子群， 是G 中使 H 称为正规子群的最大子群。反过来能否通过缩小 H 来得到一个正规子群呢？考察H的所有共轭子群之交 ，可以证明 任然包含所有 H 的共轭子群，从而恒有 ，即 K 为正规子群。特别的，如果 H 的指数有限，则 K 的指数也有限。

相对于单个元素的正规化子，子集的正规化子其实是被弱化的。正规化子 是所有满足 的元素，即所有与 x 可交换的元素。为此可以定义与子集 S 所有元素可交换的集合，称它为 S的中心化子，并记做 。容易证明它也是子群，并且有下式成立。而对单个元素显然有： 。

读者可以思考如下两个简单的结论：
• 求证： ；
• 求证： 是 S 各元素正规化子的交。

关于交错群 有一个重要的结论，现在我们可以来介绍它了：当 时， 都是单群。对 的场景可以直接验证，也可以证明，但最好使用结论： 有唯一正规子群 。当 时，证明比较繁杂，但方法很基础，这里仅给出基本思路。首先容易证明任何偶置换都可以表示为若干3-循环之积，并且An可以由一些3-循环生成。其次证明An对3-循环集X的作用只有一个轨道，所以An中包含一个3-循环的正规子群只能是An自身。最后通过分情况讨论，证明An的正规子群必含有一个3-循环，这就证明了An,(n>4)是单群。若有疑问可参见《代数学引论》（2nd)，聂灵绍，2009。第 66 页定理 9 有详细的证明过程。

元素 g 与左陪集 可以定义作用 ，现在就来看看这个作用有什么结论。记 X 为子群 K的所有左陪集，考察子群 H 到 X 的作用（选G得不到有用结论）。作用的轨道是一些左陪集，它们的并可以写成 ，它也称为 重陪集 。重陪集可以既可以看成是一些K的左陪集之并，也可以看成是一些H的右陪集之并。根据轨道的性质可知，重陪集之间要么完全相同，要么没有交集。

作用的稳定子满足 ，从而 ，即 。稳定子的集合为 ，从而轨道内元素的个数是 。结合重陪集的意义和群的作用，就得到 里H的右陪集个数 和 K 的左陪集个数 分别为以下公式。

再来看看稳定元素 ，它们对一切 h 满足 ，这就得到 ，它要求 首先是共轭的。当 时，可知 ，即 为 中 H 的所有陪集，个数为 。

对群的所有研究都是为了分析其结构，目前除了循环群之外，还没有其它群被完全解析。在储备了一些知识后，我们开始着眼于有限群和交换群这两种常见且重要的群。相对于无限群的无穷变换，有限群的结构总也是有穷的，在这里也许可以得到一些有用的结论。我们当然是从群的阶出发，逐步寻找规律。首先对于素数阶群，显然必定是循环群，且除 e 外每个元素都是生成元。对于素数幂次 阶群，它每个子群的阶都是 p 的幂，反之也是成立的，这样的群有时也叫 p-群 。

拉格朗日定理说到，子群的阶必为父群的因子，那么反过来呢？对任意阶为 的群 G，它有 p 阶子群吗？这个问题的答案是肯定的，现在用归纳法证明该重要结论。当 时结论显然，现在假设结论对 成立。任意找一个非平凡子群 H，如果 ，则由假设知存在 p 阶子群。如果总有 ，考察类方程（5），有 ，从而中心的阶满足 。而中心为正规子群，它的商群 必有 p 阶子群 ，则必定有 ，所以 中有 p 阶元。综合以上就得到了结论：阶为 的群必有有 阶子群，该结论也叫 柯西定理 。

这个结论非常有用，比如由此可以判断 pq 阶交换群必有 p,q 阶子群 ，而 的阶为 ，所以它必定是循环群。如下有几个小思考题，供读者消遣：

• 求证p-群有中心；
• 求证 阶群是循环群，另外仅有一个 p 阶子群的 p-群 也是循环群；
• 同构意义下，4 阶群只有循环群和 。

继续刚才的问题，如果 G 的阶为 ，它是否有 阶子群呢？当 时结论显然成立，假设有 阶子群 H，考察式（8）的重陪集分解。左侧有 ，右侧那些重陪集除了 外都有 ，从而 。所以有 ，故 有 p 阶子群 ，其中 ，且 。这就构造出了 阶子群，继而可以构造所有 阶子群，其中 阶子群也叫 Sylow p-子群。



显然每个Sylow p-子群的共轭也是Sylow p-子群，反之对两个Sylowp-子群K,H，考察其重陪集分解（9）。因为 ，而右侧重陪集除 外都有 ，故有 。即存在 ，这就有 ，从而 共轭。既然所有的Sylow p-子群是一个共轭子群类，而稳定子为 ，故 Sylow p-子群的个数为 ，首先当然有 。其次，容易有 ，即 ，从而 。总结这两段的讨论就是重要的 西罗定理 （G的阶为 ）：

（1）西罗第一定理：存在 阶子群，且对任意 阶子群 H 都有 阶子群 使得 ；
（2）西罗第二定理：所有Sylow p-子群共轭；
（3）西罗第三定理：Sylow p-子群个数 n 满足： 且 。

西罗定理为研究有限群的结构提供了非常好的工具，如果Sylow p-子群仅有1个，那它必为正规子群，可以将群拆分为Sylow p-子群及其商群来研究。如果Sylow p-子群有 个，考虑它们的共轭关系，已知可以有一个从 G 到 的同态映射，这就说明了G有同态于 的商群。

在上面我们得到过结论： 阶交换群是循环群。如果不要求是交换群，但 ，则 p-子群 和 q−子群都是正规子群且无非平凡交集，也可以证明它们是可交换的。之前的证明同样成立，它还是个循环群。利用这个结论，很多有限群都可以确定是循环群。

这个正规性还使得Sylow p-子群可参与有限群的分解。若有 ，且 -子群Pk都是正规子群（比如上面的条件），你可以证明有下式成立。而把结果用到交换群上则是显然成立的。并且对任意 ，设 。由Sylow定理知， 中总有 阶子群 ，则显然 的阶就是 d。这就是说拉格朗日定理的反命题对满足条件的有限群是成立的，对任意 都有阶为d的子群。

考虑几个习题：
• P 为Sylow p-子群，若p-群H满足 ，则 ；
• 同构意义下，6 阶群只有循环群和 ；
• 若 或 ，则 G 不是单群。

刚才我们把有限交换群分解成了Sylow p-子群的直积，现在来看交换群Sylow p-子群 P 能否再进一步分解。考察 P 的一组生成元 ，由于是交换群，则必定有 。接下来我们需要找使得表达式成为直积的生成元，主要思想是利用现有生成元，如果不是直积，则能构造出阶之和更小的生成元，用无穷递降法就构造出直积表达式。这样每个Sylow p-子群 P 都被分解成了若干循环群的直积，进而可以有任何有限交换群 G 都可以分解为循环群的直积，并且每个循环群的解都是 p-群。它们的生成元被称为G的 基 ，生成元的阶被称为 初等因子 ，由此两个有限交换群同构的充要条件就是它们的初等因子组相等。

可以将G的初等因子分成多组 ，并且满足 。相应地就有下式成立。 叫的 不变因子 ，容易证明不变因子组相等也是有限交换群同构的充要条件。其实还可以证明，对任意初等因子组合不变因子组，都可以构造出相应的有限循环群，以上都称有限 交换群基本定理

在数学中，特别是叫做群论的抽象代数领域中，半直积(semidirect product)是从其中一个是正规子群的两个子群形成一个群的特定方法。半直积是直积的推广。半直积是作为集合的笛卡尔积，但带有特定的乘法运算。
一些等价的定义
令G为群，N为G的一个正规子群，并且H是G的一个子群。下列命题等价:
1）G = NH 且 N ∩ H = {e} (其中e是G的幺元)
2）G = HN 且 N ∩ H = {e} G的每个元素可以写作唯一的N的一个元素和H的一个元素的积
3）G的每个元素可以写作唯一的H的一个元素和N的一个元素的积
4）自然的嵌入H → G, 和自然的投影G → G/N的复合，给出一个在H 和G/N之间的同构 存在同态G → H，它的像是H本身而其核是N
如果这些命题中的一个(从而所有)成立，则称G是一个N和H的半直积，或者说G在N上“分裂(splits)”，并写作G = N ⋊ H。
基本事实和提醒
若G是正规子群N和子群H的半直积，而且N和H都是有限的，则G的阶等于N和H的阶的积。
注意，和直积的情况不同，半直积通常不是唯一的；如果G和G' 是两个群，都包含N为正规子群，并且都包含H为子群，而且二者都是N和H的半直积，则未必G和G' 是同构的。
外半直积
若G是一个N和H的半直积，则映射φ : H → Aut(N) (其中Aut(N)表示N的所有自同构组成的群)(定义为φ(h)(n) = hnh 对于所有H中的h和N中的n)是一个群同态。实际上N, H 和 φ 一起确定了G 最多相差一个同构，如下面所证。
给定任意两个群N和H（不必是某个群的子群）和一个群同态φ : H → Aut(N)，我们定义一个新群N ⋉φ H，N和H相对于φ的半直积，如下: 基础的集合是集合直积N × H，而群运算给定为
(n1, h1) (n2, h2) = (n1 φ(h1)(n2), h1 h2) 对于所有n1, N中的n2 和H中的h1, h2。这确实定义了一个群；其幺元为(eN, eH)而元素(n, h)的逆为(φ(h)(n), h) N × {eH}是同构于N的正规子群, {eN} × H是同胚于H的子群，而该群是这两个子群在上面给出的意义下的半直积。
现在反过来假设我们有上述定义的内半直积，也就是说，一个群G有一个正规子群N,一个子群H，并且使得G的每个元素g 可以唯一的写成g=nh的形式，其中n在N中而h在H中。令φ : H→Aut(N)为如下同态
φ(h)(n)=hnh 则G同构于外半直积N ⋉φ H; 该同构把乘积nh映到2元组(n,h)。在G中,我们有如下规则
(n1h1)(n2h2) = n1(h1n2h1)(h1h2) 而这是上述外半直积的定义的深层原因，也是一个记住它的方便办法。
群的分裂引理（splitting lemma）的一个版本称群G同构于两个群N和H的半直积当且仅当存在短正合序列
和一个群同态r : H → G 使得v o r = idH, H上的恒等映射。在这种情况, φ : H → Aut(N)给出如下
φ(h)(n) = u(r(h)u(n)r(h))

跑定义
由于H与H×{e2}同构,因此在同构意义下可以认为H也是G的子群
那么问题等价于证明H×{e2}是G的正规子群
对任何g=(g1,g2)属于G有:
g(H×{e2})=(g1H,g2)=(Hg1,g2)=(H×{e2})g
因此H×{e2}是G的正规子群故H是G的正规子群

一、叉积与数量积的区别：

外积≠叉积（向量的积一般指点乘），一定要清晰地区分开外积（叉积）与数量积（标积），

二、叉积（矢积）与数量积（标积）的区别：

1、标积/内积/数量积/点积的运算式（a，b和c粗体字，表示向量）：a·b=|a||b|·cosθ，几何意义，向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积。运算结果的区别，标量（常用于物理）/数量（常用于数学）。

2、矢积/外积/向量积/叉积的运算式（a，b和c粗体字，表示向量）：a×b=c，其中|c|=|a||b|·sinθ，c的方向遵守右手定则。几何意义，c是垂直a、b所在平面，且以|b|·sinθ为高、|a|为底的平行四边形的面积。运算结果的区别，矢量（常用于物理）/向量（常用于数学）。

三、张量的内积，外积，直积，叉积，张量积各自的含意及运算举例

1、内积

是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。例如：

2、外积

是否两个向量的向量积；或在几何代数中，指有类似势的运算如楔积。这些运算的势是笛卡尔积的势。这个名字与内积相对，它是有相反次序的积。这里写的是外积，但是下面的写的是矢量积。

外积的坐标表示：(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)，例如：

3、直积

在数学中，两个集合X和Y的笛卡尔积（Cartesian product），又称笛卡尔乘积，表示为X × Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员。例如：

4、叉积

数学中又称外积、向量积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。例如：

5、张量积(tensor product)

可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的：最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。例如：

扩展资料

1、内积

u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性。

利用点积可判断一个多边形是面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。

2、外积

符号表示：a× b，大小：|a|·|b|·sin<a,b>。方向：右手定则：若坐标系是满足右手定则的，设z=x×y,|z|=|x||y|sin<x,y>；则x,y,z构成右手系，伸开右手手掌，四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面，则大拇指方向即为z正轴方向。

3、直积

例子，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。A表示所有声母的集合，B表示所有韵母的集合，那么A和B的笛卡尔积就为所有可能的汉字全拼。

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB。

4、叉积

表示方法：两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。几何意义及其运用，叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

5、张量积

“张量积” 可以扩展到一般范畴。凡是在范畴中多个对象得到一个对象，并满足一定结合规则和交换规则的 *** 作都可以视为 “张量积”，比如集合的笛卡儿积，无交并，拓扑空间的乘积，等等，都可以被称为张量积。带有张量积 *** 作的范畴叫做 “张量范畴”。张量范畴现在被视为量子不变量理论的形式化，从而应该同量子场论，弦论都有深刻的联系。

参考资料来源：百度百科-点积

参考资料来源：百度百科-外积

参考资料来源：百度百科-笛卡尔乘积

参考资料来源：百度百科-向量积

参考资料来源：百度百科-张量积

---