相似矩阵对角化最后一步怎么求?

1求特征值
2求特征值对应的特征向量
3将特征向量正交化,归一化
4以3得到的归一化的向量为列构成一个可逆矩阵P,
则P逆AP=B（B为对角阵,主对角元素为特征向量对应的特征值）

普通矩阵对角化时要存在n个线性无关的的向量，即普通矩阵相似于对角矩阵，这时相似变换的矩阵P是以n个线性无关的的向量为列向量构成的，故为可逆的。但也可以将这组线性无关的的向量正交化，变成正交阵，但一般没有要求。
对于是对称矩阵，存在正交阵，但求对角阵时可以求出正交阵，也可以不求，而只求出可逆阵就可。求出正交阵的目的是保形，因为正交变换为保形变换。
普通矩阵对角化与对称矩阵对角化不同的是：对称矩阵一定可以对角化，而普通矩阵未必可以对角化。

|λE-A| =

|λ-4 -2 -2|

|-2 λ-4 2|

|-2 2 λ-4|

第 3 行 加到第 1 行，|λE-A| =

|λ-6 0 λ-6|

|-2 λ-4 2|

|-2 2 λ-4|

第 1 列 -1 倍 加到第 3 列，|λE-A| =

|λ-6 0 0|

|-2 λ-4 4|

|-2 2 λ-2|

|λE-A| = (λ-6)

|λ-4 4|

| 2 λ-2|

|λE-A| = (λ-6)(λ^2-6λ) = λ(λ-6)^2,

A 的特征值是 6， 6，0 记为 ∧ = diag(6, 6, 0)。

对于重特征值 λ = 6， λE-A =

[ 2 -2 -2]

[-2 2 2]

[-2 2 2]

初等变换为

[ 1 -1 -1]

[ 0 0 0]

[ 0 0 0]

得特征向量 (1, 1, 0)^T, (1, 0, 1)^T ;

对于重特征值 λ = 0， λE-A =

[-4 -2 -2]

[-2 -4 2]

[-2 2 -4]

初等变换为

[ 1 -1 2]

[ 0 -6 6]

[ 0 -6 6]

初等变换为

[ 1 0 1]

[ 0 1 -1]

[ 0 0 0]

得特征向量 (1, 1, 1)^T,

取变换矩阵 P =

[1 1 1]

[1 0 1]

[0 1 1]

则 P^(-1)AP = ∧ = diag(6, 6, 0)

扩展资料：

矩阵的对角线有许多性质，如做转置运算时对角线元素不变、相似变换时对角线的和(称为矩阵的迹)不变等。在研究矩阵时，很多时候需要将矩阵的对角线上的元素提取出来形成一个列向量，而有时又需要用一个向量构造一个对角阵。

如何对给定的矩阵进行分块，完全取决于矩阵中元的形式，如果能将矩阵分成分块对角阵，则对矩阵的各种运算必将带来很大的便利，同时加快可以用逆阵求解的线性方程组的解决速度。

参考资料来源：百度百科-对角阵

|A-λE|
2-λ -1 1
-1 2-λ -1
1 -1 2-λ
c1-c3
1-λ -1 1
0 2-λ -1
λ-1 -1 2-λ
r3+r1
1-λ -1 1
0 2-λ -1
0 -2 3-λ
= (1-λ)[(2-λ)(3-λ)-2]
= (1-λ)(λ^2-5λ+4)
= (1-λ)(λ-1)(λ-4)
所以 A 的特征值为 1,1,4
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,1,0)^T,a2=(1,-1,-2)^T (正交)
(A-4E)x=0 的基础解系为 a3=(1,-1,1)^T
将a1,a2,a3单位化构成P=
1/√2 1/√6 1/√3
1/√2 -1/√6 -1/√3
0 -2/√6 1/√3
则P为正交矩阵,且 P^-1AP=diag(1,1,4)

经过矩阵的一系列行、列变换（初等变换）后，能得到一个只有主对角线上元素不全为零，而其他位置全为零的另一个矩阵（这个矩阵称为对角阵），这个过程就叫做矩阵的对角化。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

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