将矩阵用行的初等变换变成行最简形，每一步是怎么变

用初等行变换的方法来化简
2 -1 3 -4
3 -2 4 -3
5 -3 -2 1 第1行除以2
～
1 -1/2 3/2 -2
3 -2 4 -3
5 -3 -2 1 第2行减去第1行×3，第3行乘以第1行×5
～
1 -1/2 3/2 -2
0 -1/2 -1/2 3
0 -1/2 -19/2 11 第1行减去第2行，第3行减去第2行，第2行×2
～
1 0 2 -5
0 1 -1 6
0 0 -9 8 第3行除以-9
～
1 0 2 -5
0 1 -1 6
0 0 1 -8/9 第1行减去第3行×2，第2行加上第3行
～
1 0 0 -29/9
0 1 0 46/9
0 0 1 -8/9
这样就得到了行最简形矩阵

步骤如下：

矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如f(x) 4x之类的线性函数的推广。设定基底后，某个向量v可以表示为m×1的矩阵,而线性变换f可以表示为行数为m的矩阵A，使得经过变换后得到的向量f(v)可以表示成Av的形式。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。

把线性方程的矩阵化为行最简形矩阵的技巧是对矩阵做初等的行变换,将矩阵化为阶梯形就可以了。
化简矩阵的目的是找到一个和原矩阵等价的而且形式比较简单的矩阵,比如上三角形,比如下三角形。
原矩阵和化简后的矩阵等价是指它们可以互相表出。这在求解线性方程组,求矩阵的秩,求矩阵的一个极大线性无关组等方面具有极大的便利。
罗增儒老师曾经指出:教师的就是在知识本身从知识形态向教育形态转变是的角色演。这些性质从教育形态服务知识形态的角度来说,不管是学生还是学者都应该更愿意接受矩阵变换和坐标运算的方法从“圆”的性质“嫁接”到“椭圆”中的做法。
化简的方法主要有三个,分别是:
1、某一行乘以一个非零的常数。
2、交换两行的位置。
3、某一行减去另外一行和某个常数的积。
扩展资料
化简过程如图
用初等行变换化行最简形的技巧
1一般是从左到右,一列一列处理
2尽量避免分数的运算
具体 *** 作:
1看本列中非零行的首非零元
若有数a是其余数的公因子,则用这个数把第本列其余的数消成零
2否则,化出一个公因子
给你个例子看看吧
例:
2-1-112
11-214
4-62-24
36-979
--a21=1是第1列中数的公因子,用它将其余数化为0()
r1-2r2,r3-4r2,r4-3r2得
0-33-1-6
11-214
0-1010-6-12
03-34-3
--第1列处理完毕
--第2列中非零行的首非零元是:a12=-3,a32=10,a42=3
--没有公因子,用r3+3r4w化出一个公因子
--但若你不怕分数运算,哪就可以这样:
--r1(-1/3),r2-r1,r3+10r1,r4-3r1
--这样会很辛苦的^_^
r1+r4,r3+3r4()
0003-9
11-214
0-116-21
03-34-3
--用a32把第2列中其余数化成0
--顺便把a14(下次要处理第4列)化成1
r2+r3,r4+3r3,r1(1/3)
0001-3
10-17-17
0-116-21
00022-66
--用a14=1将第4列其余数化为0
r2-7r1,r3-6r1,r4-22r1
0001-3
10-104
0-110-3
00000
--首非零元化为1
r3(-1),交换一下行即得
10-104
01-103
0001-3
00000
注():也可以用a11=2化a31=4为0
关键是要看这样处理有什么好处

用初等行变换化行最简形的技巧
1 一般是从左到右,一列一列处理
2 尽量避免分数的运算
具体 *** 作:
1 看本列中非零行的首非零元
若有数a是其余数的公因子, 则用这个数把第本列其余的数消成零
2 否则, 化出一个公因子
给你个例子看看吧
例:
2 -1 -1 1 2
1 1 -2 1 4
4 -6 2 -2 4
3 6 -9 7 9
--a21=1 是第1列中数的公因子, 用它将其余数化为0 ()
r1-2r2, r3-4r2, r4-3r2 得
0 -3 3 -1 -6
1 1 -2 1 4
0 -10 10 -6 -12
0 3 -3 4 -3
--第1列处理完毕
--第2列中非零行的首非零元是:a12=-3,a32=10,a42=3
-- 没有公因子, 用r3+3r4w化出一个公因子
-- 但若你不怕分数运算, 哪就可以这样:
-- r1(-1/3),r2-r1,r3+10r1,r4-3r1
-- 这样会很辛苦的 ^_^
r1+r4,r3+3r4 ()
0 0 0 3 -9
1 1 -2 1 4
0 -1 1 6 -21
0 3 -3 4 -3
--用a32把第2列中其余数化成0
--顺便把a14(下次要处理第4列)化成1
r2+r3, r4+3r3, r1(1/3)
0 0 0 1 -3
1 0 -1 7 -17
0 -1 1 6 -21
0 0 0 22 -66
--用a14=1将第4列其余数化为0
r2-7r1, r3-6r1, r4-22r1
0 0 0 1 -3
1 0 -1 0 4
0 -1 1 0 -3
0 0 0 0 0
--首非零元化为1
r3(-1), 交换一下行即得
1 0 -1 0 4
0 1 -1 0 3
0 0 0 1 -3
0 0 0 0 0
注(): 也可以用a11=2 化a31=4 为0
关键是要看这样处理有什么好处
若能在化a31为0的前提下, a32化成了1, 那就很美妙了
注(): r1+r4 就是利用了1,4行数据的特点,先处理了a12
总之, 要注意观察元素的特殊性灵活处理

用初等行变换化行最简形的技巧
1 一般是从左到右,一列一列处理
2 尽量避免分数的运算
具体 *** 作:
1 看本列中非零行的首非零元
若有数a是其余数的公因子, 则用这个数把第本列其余的数消成零
2 否则, 化出一个公因子
给你个例子看看吧
例:
2 -1 -1 1 2
1 1 -2 1 4
4 -6 2 -2 4
3 6 -9 7 9
--a21=1 是第1列中数的公因子, 用它将其余数化为0 ()
r1-2r2, r3-4r2, r4-3r2 得
0 -3 3 -1 -6
1 1 -2 1 4
0 -10 10 -6 -12
0 3 -3 4 -3
--第1列处理完毕
--第2列中非零行的首非零元是:a12=-3,a32=10,a42=3
-- 没有公因子, 用r3+3r4w化出一个公因子
-- 但若你不怕分数运算, 哪就可以这样:
-- r1(-1/3),r2-r1,r3+10r1,r4-3r1
-- 这样会很辛苦的 ^_^
r1+r4,r3+3r4 ()
0 0 0 3 -9
1 1 -2 1 4
0 -1 1 6 -21
0 3 -3 4 -3
--用a32把第2列中其余数化成0
--顺便把a14(下次要处理第4列)化成1
r2+r3, r4+3r3, r1(1/3)
0 0 0 1 -3
1 0 -1 7 -17
0 -1 1 6 -21
0 0 0 22 -66
--用a14=1将第4列其余数化为0
r2-7r1, r3-6r1, r4-22r1
0 0 0 1 -3
1 0 -1 0 4
0 -1 1 0 -3
0 0 0 0 0
--首非零元化为1
r3(-1), 交换一下行即得
1 0 -1 0 4
0 1 -1 0 3
0 0 0 1 -3
0 0 0 0 0
注(): 也可以用a11=2 化a31=4 为0
关键是要看这样处理有什么好处
若能在化a31为0的前提下, a32化成了1, 那就很美妙了
注(): r1+r4 就是利用了1,4行数据的特点,先处理了a12
总之, 要注意观察元素的特殊性灵活处理

最简形矩阵应该是上梯形矩阵（即对角线的下方各元素都为零）或下梯形矩阵即对角线的上方各元素都为零。

化成上梯形矩阵或下梯形矩阵的主要方法，用初等行变换或初等列变换进行简化。

根据本例，简化如下：

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