行阶梯形矩阵的秩是什么？

行阶梯形矩阵的秩是用初等行变换。

这个有很大的作用，（当矩阵是二三阶的时候，行阶梯形矩阵可以求矩阵的值）还可以求矩阵的秩，求齐次方程组的解和非齐次方程组的解，还有求方程组的最大无关组等等都需要行阶梯形，求矩阵的秩一定的化成行阶梯形而且还是行最简形。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

解题过程如下图：

n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。

扩展资料

n阶行列式的性质

性质1 行列互换，行列式不变。

性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。

性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。

性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）

性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。

行向量组或是列向量组的最大非线性相关向量的个数，也是行列规范化后非零的向量个数。比如(100，010，001)秩就是3，而（111，110，001）秩就是2。

秩也可以理解成矩阵构成的线性方程解的个数a，秩为r，有n=a+r。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

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矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。
定义1 在m´n矩阵A中，任意决定k行和k列 (1£k£min{m,n}) 交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵 中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2 A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A
的秩，记作rA，或rankA。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)¹ 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
由行列式的性质1(15[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。
例1 计算下面矩阵的秩，
而A的所有的三阶子式，或有一行为零；或有两行成比例，因而所
有的三阶子式全为零，所以rA＝2。
矩阵的秩
引理 设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
定理 矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
定理 初等变换不改变矩阵的秩。
定理 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
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r(A,B)>=r(A+B)

r(A,B)>=r(B)>=r(AB)

r(AB)与r(A+B)没有直接关系。

矩阵B可逆，AB的秩等于A的秩，那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积，同理秩不变。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

百度百科-矩阵的秩

rab等于ra说明：R（A）是矩阵A的秩，R（AB），AB是A与B两个矩阵的积，也是一个矩阵，R（AB）就是这个积矩阵的秩。

秩是线性代数术语。在线性代数中，一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。在解析几何中，矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系。

注意：

使用计算机按上述方法求矩阵的秩时，可能涉及浮点数。此时基本高斯消去(LU分解)可能是不稳定的，可以使用奇异值分解(SVD)或有支点(pivoting)的QR分解。秩的数值判定要求对一个值比如来自 SVD 的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。

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