求连续函数在闭区间上的最大值的步骤

1、如果能直接判断函数的单调性，那么两个端点处的值带入，求出的函数值就是一大一小。
2、如果不能判断函数的单调性，就需求导数。
3、令导数＝0，解出x。
4、把所有的x(包括导数为零的x、不可导处的x、间断点以及区间断点)带入函数求值。
5、比较大小即可。

（1）对于任意的x∈I,都有f(x)≤M；
这句话是说,在该函数的定义域中其函数值都小于或者等于一个数（M）
（2）存在x0∈I,使得f(x0)=M
这句话是说,在该函数的定义域中要存在这样一个可以让函数值等于M的X0
求极值一般用求导的方法,其一阶导数等于0

求导
y′=6x²-6x=6x（x-1） x∈-1,4
当x∈（-1,0） y′>0 函数递增
x∈（0,1） y′<0 函数递减
x∈（1,4） y′>0 函数递增
当x=0，函数有极大值0 当x=1时，函数有极小值-1
又当x=-1时，y=-5， 当x=4时，y=80
所以函数在区间-1,4的最大值为80，最小值为-5

一 求函数最值常用的方法
最值问题是生产,科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题,是高中数学的一个重点, 它涉及到高中数学知识的各个方面, 解决这类问题往往需要综合运用各种技能, 灵活选择合理的解题途径, 而教材中没有作出系统的叙述因此, 在数学总复习中,通过对例题, 习题的分析, 归纳出求最值问题所必须掌握的基本知识和基本处理方程
常见的求最值方法有:
1配方法: 形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值
2判别式法: 形如的分式函数, 将其化成系数含有y的关于x的二次方程由于, ∴≥0, 求出y的最值, 此种方法易产生增根, 因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验
3利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值
4利用均值不等式, 形如的函数, 及≥≤, 注意正,定,等的应用条件, 即: a, b均为正数, 是定值, a=b的等号是否成立
5换元法: 形如的函数, 令,反解出x, 代入上式, 得出关于t的函数, 注意t的定义域范围, 再求关于t的函数的最值
还有三角换元法, 参数换元法
6数形结合法 形如将式子左边看成一个函数, 右边看成一个函数, 在同一坐标系作出它们的图象, 观察其位置关系, 利用解析几何知识求最值
求利用直线的斜率公式求形如的最值
7利用导数求函数最值
2
首先要求定义域关于原点对称
然后判断f(x)和f(-x)的关系：若f(x)=f(-x)，偶函数；若f(x)=-f(-x)，奇函数。
如：函数f(x)=x^3，定义域为R，关于原点对称；而f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，所以f(x)=x^3是奇函数。
又如：函数f(x)=x^2，定义域为R，关于原点对称；而f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)，所以f(x)=x^3是偶函数。

作函数y=(lnx)/x的图形，求过程

解：定义域：x>0；x→0limy=-∞；x→+∞lim[(lnx)/x]=x→+∞lim(1/x)=0；

令y'=(1-lnx)/x²=0，得1-lnx=0，lnx=1，故得驻点x=e；x<e时y'>0；x>e时y'<0，故x=e

是极大点，极大值y=y(e)=1/e；另外，当x=1时y=0，即有零点(1，0)；

令y''=[x²(-1/x)-(1-lnx)•2x]/x^4=(-3x+2xlnx)/x^4=(-3+2lnx)/x³=0 ，

得 x=e^(3/2)≈45,即得拐点(e^(3/2)，3/2e^(3/2))≈(45，1/3)；

x<e^(3/2)时y''<0；x>e^(3/2)时y''>0；故(0，e^(3/2]为凸区间；[e^(3/2),+∞）

是凹区间；其图像如下：

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