=
(X1+X2++Xn)/n
其样本方差为S
=(
(Y-X1)^2
+
(Y-X2)^2
+
+
(Y-Xn)^2
)
/
(n-1)
为了记号方便，我们只看S的分子部分，设为A
则
E
A
=E(
n
Y^2
-
2
Y
(X1+X2++Xn)
+
(X1^2
+
X2^2
++
Xn^2))
=E(
(X1^2
+
X2^2
++
Xn^2)
-
n
Y^2
)
注意
EX1
=
EX2
=
=
EXn
=
EY
=
EX;
VarX1
=
VarX2
=
=
VarXn
=
VarX
=
E(X^2)
-
(EX)^2
VarY
=
VarX
/
n
(这条不是明显的，但是可以展开后很容易地证出来，而且也算是一个常识性的结论）
所以E
A
=
n(VarX
+
(EX)^2)
-
n
(VarY
+
(EY)^2)
=
n(VarX
+
(EX)^2)
-
n
(VarX/n
+
(EX)^2)
=
(n-1)
VarX
所以
E
S
=
VarX；得证。
扩展资料：
在概率分布中，设X是一个离散型随机变量，若E{[X-E（X）]^2}存在，则称E{[X-E（X）]^2}为X的方差，记为D（X），Var（X）或DX，其中E（X）是X的期望值，X是变量值，公式中的E是期望值expected
value的缩写，意为“变量值与其期望值之差的平方和”的期望值。
平方根是一个凹函数，因此引入负偏差（由Jensen不等式），这取决于分布，因此校正样本标准偏差（使用贝塞尔校正）有偏差。
标准偏差的无偏估计是一个技术上涉及的问题，尽管对于使用术语n-15的正态分布，形成无偏估计。
研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的。那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢容易看到E[|X-E[X]|]能度量随机变量与其均值E（X）的偏离程度。但由于上式带有绝对值，运算不方便，通常用量E[（X-E[X]）2]θ=0或1，无甚意义；
当0<θ<1时
EX=Σxf(x;θ)（x=2,到 ∞）
=θ^2 Σx (x-1)(1-θ)^(x-2)（x=2,到 ∞）;
注意：(x-1)(1-θ)^(x-2)（x=2,到 ∞）
=-[(1-θ)^(x-1)]' (对 θ求导)（x=2,到 ∞）
所以
x (x-1)(1-θ)^(x-2)（x=2,到 ∞）
=-[x (1-θ)^(x-1)]' (对 θ求导)（x=2,到 ∞）
=[(1-θ)^x] '' (对 θ求2阶导)（x=2,到 ∞）
所以
Σx (x-1)(1-θ)^(x-2)（x=2,到 ∞）
=Σ[(1-θ)^x] '' （x=2,到 ∞）
=[Σ(1-θ)^x] '' （x=1,到 ∞, 和的导数=导数的和，x=1时，(1-θ)^x=1,1对θ求导得0，所以在[]内可让x=1开始）
={1/[1-(1-θ)]}''
=2/(θ^3); 所以 EX=θ^2 (2/(θ^3))=2/θ；即期望为 2/θ； （符号不好输入，望仔细看）
Content
这个学期上了Prof Sheldon Ross的<Elements of Stochastic Processes>，总算是把本科阶段时曾经粗浅地接触过、但是现在早已忘掉绝大部分的概率论知识给重新捡起来了。自我感觉概率论的水平有不小的提高，于是决定趁热打铁整理一下笔记，写下这篇小文章。
随机变量是一座桥梁，它的一端是这个世界上的各种或复杂或简单的随机现象( 不确定性是这个世界的本质之一 )，另一端是包括代数计算在内的各种数学工具。对于随机现象，我们可以定义一个随机变量 ，针对每一种可能出现的结果，我们都可以给这个随机变量赋予一个取值，这样一来，我们就能够运用数学的力量来对这个世界的随机性进行分析。很多时候，我们关心的是平均值，我们有下面四种方法来计算随机变量 的期望值(均值)：
(1)式是随机变量期望值的定义式。由于使用这一公式需要知道该随机变量的概率质量函数——当你已知其概率质量函数时，你可以求出包括期望、方差等在内的所有统计值——而在复杂的现实世界中我们很难得到一个变量的分布表达式（甚至很多时候连求出均值都显得困难），因此该式使用相对较少。
(2)式表明，当一个随机变量可以表示成若干个随机变量之和的形式时，它的期望即为这些变量的期望之和。当一个随机事件可以拆解成具有先后顺序的子事件时，这一表达式很有效。
(3)式是计算期望值最常用的式子，实际上， 「条件于(conditioning on )」 是概率论体系中最为核心的技术之一。在分析现实世界的随机现象时，如果你能够获取额外的信息，这便意味着一些本是未知且随机的元素不再随机，而是成为了确定性因素，这将影响你原本的分析计算结果。
(4)式又叫条件恒等式(Conditioning Identity)，是同时应用了(1)(3)两式得到的，根据求随机变量函数值的期望值的公式，我们有
注意到 是随机变量 的函数值(仍旧是一个随机变量)，它表示，当变量 取不同的值(这是随机事件)时，变量 的期望值(这是一个数值)也随之变化，这正是随机变量的定义(由某一随机现象得到某一对应的数值)，因此， 是一个随机变量。
下面我们通过一些例子来展示这四个式子的运用。
一系列相互独立的试验，每次试验成功的概率都是 ，用随机变量 表示出现第一次成功试验时所需要的试验次数，其概率质量函数为 。这样的一个随机变量服从几何分布。
使用(1)式来计算其期望值如下(在第二行运用了求导与求和运算次序的可交换性)
使用(2)式，设随机变量 为第一次实验过后仍需要几次实验才能出现第一次成功，即 。因此， ，该式表示第一次试验就成功了，所以不再需要额外的试验； ，该式表示前n次试验都失败了，在第 次试验时才终于成功。于是有：
使用(3)式，定义随机变量 ，当首次试验成功时取值1，失败时则取值0。条件于 来计算 的期望值如下：
如果我们定义随机变量 如下， ，那么按照(4)式对变量 求期望便能求出 。对比(3)式的求解过程，我们可以看到(4)式本质上是在运用(3)式。
现在我们同时运用(2)(3)来计算方差。
注意到，仅考虑 时，变量 是不服从几何分布的，但是在引入「第一次实验失败了」这个条件后，在得知这个原本未知的信息之后，随机变量 成为了一个服从几何分布的随机变量，其参数和 完全相同，所以有 和 。
下面我们考虑一个以几何分布为基础的问题。现在变量 不再表示出现第一次成功试验时所需要的试验次数，而表示 连续出现k次成功 试验时所需要的试验次数。试求变量 的期望。
要想最大化条件期望这一工具的威力，我们要找到合适的变量来作为条件。现定义变量 为出现 第一次失败 时所需要的试验次数，这个变量将帮助我们轻松求出 的期望值。
以 为例，独立随机试验的设定在于，哪怕你已经连续9次成功，你也不能确定下一次就会成功。不管在连续9次成功之后失败了，还是在连续3次成功之后失败了，得到的结果都是一样的，同样是回到了游戏的起点，同样是需要从头再来。所以我们有：
利用(3)式来求其期望值：
接着我们进一步拓展。几何分布的试验只有两种结果，即成功与失败。现在我们对其推广，假设每次独立随机试验都会有m种可能结果，每种结果出现的概率都是 ，用随机变量 表示任意一种结果连续出现k次所需要的试验次数。试求 的期望值。
这又是一道初看很棘手，但使用条件期望就能轻松解决的问题。用 表示任意一种结果连续出现 次所需要的的试验次数，那么有
对(8)式两边求期望：
在(7)式中，令 则有 ；在(8)式中，令 ，则有 。这两个结果是一致的，之所以差了个倍数2，是因为在后一题里，任意一种结果出现k次就行，而在前一题里，需要特定某个结果出现k次才行。
快速排序是一种常用的排序算法，随机从数列中选出一个数字，数列中剩余的所有数字和它进行比较，比它小的落入到左侧的子数列中，比它大的落入到右侧的子数列中，然后对这两个子数列分别进行同样的 *** 作，重复下去，直到每个子数列只有1个或2个数字为止。最后我们将得到一个从左到右依照从小到大排列好的数列。这是典型的分治法应用，将一个复杂的大问题不断地拆解成容易解决的小问题。
为了分析这一算法，我们先定义一些必要的变量。用 表示完成对一个数列的排序所需要进行的大小比较的次数；用 表示对一个长度为n的数列进行排序平均需要进行多少次大小比较；用 表示第一个随机选取的数字在全体n个数字中的排名，如果 ，那么有 个数字比这个数小，落入它的左侧，有 个数字比它大，落入它的右侧。根据条件期望我们得到：
用 替换 之后两式相减：
两边同时乘以 后我们便能得到 的一般表示式：
由此可知，快速排序算法是平均复杂度为 的排序算法。
有n个人在一个房间里聚会，每个人头戴一顶帽子，现在大家都把帽子放到房间中心的一个箱子里，每个人依次上前去随机抽取帽子，如果他刚好抽到了他自己的那顶帽子，我们说此时产生了一个匹配(match)。用随机变量 表示产生了多少个匹配。试求(a) 的期望值；(b) 的概率质量函数。
对于 (a)问，利用(2)式可以轻松求出，令 ，其中 表示第i个人是否成功地拿到了自己的那顶帽子。
,该式表示第一个人没有拿走属于第二个人的帽子，然后第二个人顺利地拿到了他的那顶帽子。于是有：
这一结果意味着，不管房间里有多少个人，平均而言只有一个人可以拿到属于他的那顶帽子。
对于(b)问，为了求出 ，我们需要先求出 ，虽然这一项指的是所有人都没有拿到自己的那一顶帽子，但是不能简单地用链式法则来求解：
上式是错误的计算方法，对于「第一个人没有拿到他的帽子」这个事件，需要分类成「第一个人拿到了第二个人的帽子」和「第一个人拿到了既不属于他也不属于第二个人的帽子」这两个子事件，然后你才能去研究第二个人的匹配情况。
我们需要借助条件概率来求解，用 表示事件「产生匹配的数量为零」，用 表示事件「第一个人拿到了他的那顶帽子」，用 表示事件「第一个人没有拿到他的那顶帽子」，用变量 表示「n个人中没有产生匹配」的概率。则有：
若第一个人没有选走他帽子，则他的帽子留在了剩余的n-1顶帽子中，成为了「多余的帽子」(因为这顶帽子没有被他的主人取走)，而他所拿走的那顶帽子的主人则成了「多余的人」(因为他没有机会取走他自己的帽子了)。现在我们来研究一下事件 。这一事件分为两个子事件：
,把多余的帽子看做归属于多余的人，这样一来，第一个人走后，剩下的n-1个人都还有机会拿到自己的那顶帽子。
现在我们可以求出 了，将所有人分成两队(一共有 种分法)，一队有k个人，他们中的每个人都拿到了自己的帽子；另一队有n-k个人，每个人都没有拿到自己的帽子。
有了概率质量函数之后，我们可以用期望的定义式即(1)式来验证(a)问的结果：
利用 可以化简这一结果：
结果与(a)问的答案一致。下面我们拓展原问题，现在规定，在第一轮里拿到了自己帽子的人离开房间，剩下的人把拿错的帽子放回箱子里，继续随机抽取，重复进行下去直到所有的人都拿回自己的帽子为止。用变量 表示需要经过多少轮才能让所有人都拿回帽子。试求 的期望。
从(a)题的结果我们知道，不管房间里有多少人，平均而言，一轮中只有一个人能够拿回自己的帽子，于是我们直观猜测 。现在我们用数学归纳法来证明这个结论。
用 表示当房间里有n个人时需要经过多少轮才能使所有人拿到自己的帽子，有 ；用变量 表示第一轮里有多少人拿到了自己的帽子(即匹配的数量)。显然， 成立，现在我们假设有 ，可以得到：
证明完成。
在一个教室里坐着n个学生，假设每个人在任意一天出生的概率相同，都为 ，那么这n个学生中，有两个人在同一天过生日的概率是多少？
用 表示事件「至少有两个人在同一天出生」，用 表示事件「没有人的生日相同」，由于这两个事件互补，所以有 。我们从 着手，因为它比 的计算要简单得多。事件 意味着，第一人在某一天出生了，第二个人的生日与他不同；第三个人的生日既和第一个人不同，也和第二个人不同；第四个人的生日和前面三个人的生日都不相同，以此类推，第n个人的生日和前n-1个人的生日都不相同。所以有：
当n=23时， ；当n=57时， 。这意味着，只需要有23个人，就有超过一半的几率出现两个人同一天过生日(对于概率论不熟悉的人可能会猜测至少需要157人)；只需要57个人，就能使这一概率值高达99%。以人数为横轴，概率值为纵轴，绘图如下：
这个问题有各种版本的场景描述(最初的场景是要从众多的候选者中选出综合能力最好的那个秘书)，而我个人倾向于这样来描述：在你生日这天，你的n个好朋友排成一队给你送红包，但在这n份红包中你只能接受一份。每次拿到红包后，你可以拆开红包来查看面额大小，如果满意，你选择接受这一红包，游戏结束；如果不满意，你拒绝这份红包(事后不能反悔)，然后去拆下一份红包。这个问题的目标是拿到面额最大的那个红包，它的难点在于，每一份红包的面额大小都是纯粹随机的，不管你已经见过多少份红包，下一份红包对于你而言仍旧是完全未知的(虽然见过的红包越多，对于面额的相对大小的判断越准确)。
直观上来看，n越大，红包数量越多，拿到最大的那一份红包就越困难。用数学的语言来说就是， 表示事件「拿到最大的红包」，有 。但是，下面我们将看到，在采用适当的策略之后， 是一个恒定不变的常数，与n的大小无关。
这样的策略称为k-policy，它的做法是，不管最开始的k个红包面额如何，都不要接受，在这之后，如果遇到一个比前k个面额都大的红包，就接受它，如果一直没有遇到比前k个面额大的红包，那么就接受最后一个红包(即第n个)。下面我们来求这种策略下的 用随机变量 表示最大红包所在的位置， 则有：
好好品味一下 时的这个表达式，如果前 个红包中最大的那个在前k个位置里，就能确保在此之后、在最大的红包之前，不会有红包被选走。
考虑关于x的函数 ，对其进行求导。
这一结论是 反直觉 的(大概这就是概率论的魅力所在)，它表明，不管有多少份红包，我们拿到最大的那个红包的概率都是个常数，并且这个概率还不小(接近四成了)。
由已知，f(x)=1,(0<=x<=1)，f(y)=e^(-y),(y>=0)，Z大于0
那么F(z)=P(X+Y<z)
在坐标轴上画出积分区间
即0<=z<1时，x积分区间为(0,z)，y积分区间为(0,z-x)
z>=1时，x积分区间为(0,1)，y积分区间为(0,z-x)
在以上区间对f(x)f(y)=e^(-y)积分，有
0<=z<1时，F(z)=e^(-z)+z-1
z>=1时，F(z)=e^(-z)-e^(1-z)+1
求导，有
0<=z<1时，f(z)=1-e^(-z)
z>=1时，f(z)=e^(1-z)-e^(-z)
因此，Z的概率密度函数为
f(z)=0，z<0
f(z)=1-e^(-z)，0<=z<1
f(z)=e^(1-z)-e^(-z)，z>=1时
(2)F(z))=P(-2lnX<z)=P(X>e^(-z/2))
当z<0时，F(z)=0
当z>=0时，对f(x)从e^(-z/2)到1积分，得F(z)=1-e^(-z/2)
求导，有
f(z)=e^(-z/2)/2
因此，Z的概率密度函数为
f(z)=0，z<0
f(z)=e^(-z/2)/2，z>=0
扩展资料
如果X是离散随机变量，具有概率质量函数p（x），那么X的期望值定义为
换句话说，X的期望是X可能取的值的加权平均，每个值被X取此值的概率所加权。
我们也可以定义连续随机变量的期望值。如果X是具有概率密度函数f（x）的连续随机变量，那么X的期望就定义为
1求期望与方差E(x)=∫xf(x)dx=∫xe^(-x)dx x∈（0 +∞）
=-xe^(-x)-e^(-x)
代入得：
=1
E(x^2)=∫x^2f(x)dx=∫x^2e^(-x)dx x∈（0 +∞）
=-x^2e^(-x)+∫2xe^(-x)dx
=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)
代入得：
=2
D(x)=E(x^2)-[E(x)]^2=2-1=1
2
E(e^(tx))=∫e^(tx)f(x)dx=∫e^[(t-1)x]dx x∈（0 +∞）
=e^[(t-1)x]/(t-1)
代入x得
因为t<1 ,所以t-1<0
则为：0-1/(t-1)=1/(1-t)
3
E(x^n)=∫x^nf(x)dx=∫x^ne^(-x)dx dx x∈（0 +∞）
=-x^ne^(-x)+n∫x^(n-1)e^(-x)dx
一直使用分部积分，
=-x^ne^(-x)-nx^(n-1)e^(-x)+n(n-1)∫x^(n-2)e^(-x)dx
=
=-x^ne^(-x)-nx^(n-1)e^(-x)+n(n-1)x^(n-2)e^(-x)+-n!e^(-x)
代入x得
显然，当x趋向+∞时，
limn(n-1)(n-i)x^(n-i-1)e^(-x) (使用罗必塔法则）
=n(n-1)(n-i)x^(n-i-1)/e^x
(使用罗必塔法则,上下求导知道分子不含x）
则最后为0
所以积分等于n!
即：E(x^n)=n!这里是X>2，Y>0
∫(2，+∞)dx∫(0，+∞)8e^(-2x-4y)dy
=8∫(2，+∞)e^(-2x)dx∫(0，+∞)e^(-4y)dy
=∫(2，+∞)e^(-2x)d2x∫(0，+∞)e^(-4y)d4y
=[-e^(-2x)|(2，+∞)][-e^(-4y)|(0，+∞)]
=e^(-4)1
=e^(-4)
P(X>Y)=∫(0，+∞)dx∫(0，x)8e^(-2x-4y)dy
=8∫(0，+∞)e^(-2x)dx∫(0，x)e^(-4y)dy
=∫(0，+∞)e^(-2x)d2x∫(0，x)e^(-4y)d4y
=∫(0，+∞)2e^(-2x)[1-e^(-4x)]dx
=∫(0，+∞)2[e^(-2x)-e^(-6x)]dx
=∫(0，+∞)2e^(-2x)dx-∫(0，+∞)2e^(-6x)dx
=∫(0，+∞)e^(-2x)d2x-(1/3)∫(0，+∞)e^(-6x)d6x
=1-1/3=2/3题目1：求函数$f(x) = x^3-3x$的导数并求出其在$x=2$处的导数值。
解题过程：
首先算出函数的导数$f'(x)$，根据导数的定义：
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
将函数$f(x) = x^3-3x$带入上式，有：
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^3-3(x+\Delta x)-(x^3-3x)}{\Delta x}$
化简上式，可以得到：
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 3\Delta x}{\Delta x}$
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2+3x\Delta x+(\Delta x)^2-3)$
将$\Delta x$约去，得到导数：
$f'(x) = 3x^2-3$
求出$f'(2)$的值，带入导数公式中，有：
$f'(2) = 3\cdot 2^2 - 3 = 9$
因此，函数$f(x) = x^3-3x$在$x=2$处的导数值为$9$。
题目2：计算$\int_1^2 \frac{2x+1}{x^2+2x+1}dx$。
解题过程：
首先将被积函数化简，可以发现$x^2+2x+1=(x+1)^2$，因此：
$\frac{2x+1}{x^2+2x+1}=\frac{2x+1}{(x+1)^2}$
再将分母中的$(x+1)^2$分解为$(x+1)(x+1)$，可得到：
$\frac{2x+1}{(x+1)^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}$
其中$A$和$B$为待定系数。
通分并整理可以得到：
$2x+1 = A(x+1) + B$
当$x=-1$时，上式变为$-1 = B$，所以$B=-1$。
将$B=-1$代入上式，再令$x=0$，则可以解出$A=3$。
回代到原式中，得到：
$\int_1^2 \frac{2x+1}{x^2+2x+1}dx = \int_1^2 \frac{3}{x+1}dx - \int_1^2 \frac{1}{(x+1)^2}dx$
对第一个积分进行变量代换，令$u=x+1$，则有：
$\int_1^2 \frac{3}{x+1}dx = \int_2^3 \frac{3}{u}du = 3\ln u \Big|_2^3 = 3\ln3 - 3\ln2$
对第二个积分进行求解，利用反函数求导法，得到：
$\int_1^2 \frac{1}{(x+1)^2}dx = -\frac{1}{x+1} \Big|_1^2 = \frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$
将第6、7步得到的结果相减，得到最终结果：
$\int_1^2 \frac{2x+1}{x^2+2x+1}dx = 3\ln3 - 3\ln2 + \frac{1}{2}$1集合; 2子集; 3补集;
4交集; 5并集; 6逻辑连结词;
7四种命题; 8充要条件
二、函数（30课时,12个）
1映射; 2函数; 3函数的单调性;
4反函数; 5互为反函数的函数图象间的关系; 6指数概念的扩充;
7有理指数幂的运算; 8指数函数; 9对数;
10对数的运算性质; 11对数函数 12函数的应用举例
三、数列（12课时,5个）
1数列; 2等差数列及其通项公式; 3等差数列前n项和公式;
4等比数列及其通顶公式; 5等比数列前n项和公式
四、三角函数（46课时17个）
1角的概念的推广; 2弧度制; 3任意角的三角函数;
4,单位圆中的三角函数线; 5同角三角函数的基本关系式;
6正弦、余弦的诱导公式’ 7两角和与差的正弦、余弦、正切;
8二倍角的正弦、余弦、正切; 9正弦函数、余弦函数的图象和性质;
10周期函数; 11函数的奇偶性; 12函数 的图象;
13正切函数的图象和性质; 14已知三角函数值求角; 15正弦定理;
16余弦定理; 17斜三角形解法举例
五、平面向量（12课时,8个）
1向量 2向量的加法与减法 3实数与向量的积;
4平面向量的坐标表示; 5线段的定比分点; 6平面向量的数量积;
7平面两点间的距离; 8平移
六、不等式（22课时,5个）
1不等式; 2不等式的基本性质; 3不等式的证明;
4不等式的解法; 5含绝对值的不等式
七、直线和圆的方程（22课时,12个）
1直线的倾斜角和斜率; 2直线方程的点斜式和两点式; 3直线方程的一般式;
4两条直线平行与垂直的条件; 5两条直线的交角; 6点到直线的距离;
7用二元一次不等式表示平面区域; 8简单线性规划问题 9曲线与方程的概念;
10由已知条件列出曲线方程; 11圆的标准方程和一般方程; 12圆的参数方程
八、圆锥曲线（18课时,7个）
1椭圆及其标准方程; 2椭圆的简单几何性质; 3椭圆的参数方程;
4双曲线及其标准方程; 5双曲线的简单几何性质; 6抛物线及其标准方程;
7抛物线的简单几何性质
九、（B）直线、平面、简单何体（36课时,28个）
1平面及基本性质; 2平面图形直观图的画法; 3平面直线;
4直线和平面平行的判定与性质; 5,直线和平面垂直的判与性质;
6三垂线定理及其逆定理; 7两个平面的位置关系；
8空间向量及其加法、减法与数乘; 9空间向量的坐标表示;
10空间向量的数量积; 11直线的方向向量; 12异面直线所成的角;
13异面直线的公垂线; 14异面直线的距离; 15直线和平面垂直的性质;
16平面的法向量; 17点到平面的距离; 18直线和平面所成的角;
19向量在平面内的射影; 20平面与平面平行的性质; 21平行平面间的距离;
22二面角及其平面角; 23两个平面垂直的判定和性质; 24多面体;
25棱柱; 26棱锥; 27正多面体; 28球
十、排列、组合、二项式定理（18课时,8个）
1分类计数原理与分步计数原理 2排列; 3排列数公式’
4组合; 5组合数公式; 6组合数的两个性质;
7二项式定理; 8二项展开式的性质
十一、概率（12课时,5个）
1随机事件的概率; 2等可能事件的概率; 3互斥事件有一个发生的概率;
4相互独立事件同时发生的概率; 5独立重复试验
选修Ⅱ（24个）
十二、概率与统计（14课时,6个）
1离散型随机变量的分布列; 2离散型随机变量的期望值和方差; 3抽样方法;
4总体分布的估计; 5正态分布; 6线性回归
十三、极限（12课时,6个）
1数学归纳法; 2数学归纳法应用举例; 3数列的极限;
4函数的极限; 5极限的四则运算; 6函数的连续性
十四、导数（18课时,8个）
1导数的概念; 2导数的几何意义; 3几种常见函数的导数;
4两个函数的和、差、积、商的导数； 5复合函数的导数; 6基本导数公式;
7利用导数研究函数的单调性和极值; 8函数的最大值和最小值
十五、复数（4课时,4个）
1复数的概念; 2复数的加法和减法; 3复数的乘法和除法;
4数系的扩充
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