关系矩阵的运算?

§2 矩阵的运算现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的1 加法定义1 设,是两个 矩阵，则矩阵称为 和 的和，记为矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以不难验证，它有结合律： ;交换律： 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 ，在不致引起含混的时候，可简单地记为 显然，对所有的 ，矩阵称为矩阵 的负矩阵，记为 显然有矩阵的减法定义为例如 在§1我们看到，某一种物资如果有 个产地， 个销地，那么一个调动方案就可表示为一个 矩阵矩阵中的元素 表示由产地 要运到销地 的这个物资的数量，比如说吨数如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销地，那么，这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个 矩阵显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和根据矩阵加法的定义,应用关于向量组的秩的性质，很容易看出：秩（ + ）≤ 秩（ ）+秩（ ）2 乘法在给出乘法定义之前，先看一个引出矩阵问题设 和 是两组变量，它们之间的关系为 (1)又如 是第三组变量，它们与 的关系为 (2)由(1)与(2)不难看出 与 的关系： (3)如果我们用 (4)来表示 与 的关系，比较(3),(4)，就有 (5)用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵分别表示变量 与 以及 与 之间的关系，那么表示 与 之间的关系的矩阵 就由公式(5)决定矩阵 称为矩阵 与 的乘积，记为一般地，我们有：定义2 设,那么矩阵,其中, (6)称为矩阵 与 的乘积，记为由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵 与 的乘积 的第 行第 列的元素等于第一个矩阵 的第 行与第二个矩阵 的第 列的对应元素的乘积的和当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等例1 设,那么例2 如果是一线性方程组的系数矩阵，而分别是未知量和常数项所成的 和 矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式例3 在空间中作一坐标系的转轴设由坐标系 到 的坐标变换的矩阵为如果令,那么坐标变换的公式可以写成如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系 到第三个坐标系 的坐标变换公式为,其中那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为矩阵的乘法适合结合律设则但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来例如，设,而由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点由此还可得出矩阵消去律不成立即当 时,不一定有 定义3 主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的 矩阵称为 级单位矩阵，记为 ，或者在不致引起含混的时候简单写为 显然有,矩阵的乘法和加法还适合分配律，即, (9) (10)应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以(9)与(10)是两条不同的规律我们还可以定义矩阵的方幂设 是一 矩阵，定义换句话说， 就是 个 连乘当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义由乘法的结合律，不难证明,这里 是任意正整数因为矩阵乘法不适合交换律，所以 与 一般不相等3 数量乘法 定义4 矩阵称为矩阵 与数 的数量乘积，记为 换句话说，用数 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上 数量乘积适合以下的规律：, (11), (12), (13), (14) (15)矩阵通常称为数量矩阵作为(15)的特殊情形，如果 是一 矩阵，那么有这个式子说明，数量矩阵与所有的 矩阵作乘法是可交换的可以证明：如果一个 级矩阵与所有 级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵再有,,这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法4 转置把一矩阵 的行列互换，所得到的矩阵称为 的转置，记为 可确切地定义如下：定义5 设，所谓的转置就是指矩阵显然， 矩阵的转置是 矩阵矩阵的转置适合以下的规律：, (16), (17), (18) (19)(16)表示两次转置就还原，这是显然的例4 设求 求

从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列成矩阵图，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因素综合思考，探索问题的好方法。

矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

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