急 一道线性代数求代数余子式之和

因为行列式中每一行元素与自身的代数余子式乘积之和为行列式本身, 每一行元素与其它行元素的代数余子式对应乘积之和为0, 因此
1 ) 第一行元素0,1,0,0与自身的代数余子式A11,A12,A13,A14对应乘积之和为A12,其等于|A|;
第二行元素0,0,1/2,0与第一行元素的代数余子式A11,A12,A13,A14对应乘积之和为1/2A13,其等于0, 即是A13=0;
第三行元素0,0,0,1/3与第一行元素的代数余子式A11,A12,A13,A14对应乘积之和为1/3A14,其等于0, 即是A14=0;
第四行元素1/4,0,0,0与第一行元素的代数余子式A11,A12,A13,A14对应乘积之和为1/4A11,其等于0, 即是A11=0;
2 ) 第一行元素0,1,0,0与第二行元素的代数余子式A21,A22,A23,A24对应乘积之和为A22,其等于0;
第二行元素0,0,1/2,0与第二行元素的代数余子式A21,A22,A23,A24对应乘积之和为1/2A23,其等于|A|, 即是|A|=1/2A23;
第三行元素0,0,0,1/3与第二行元素的代数余子式A21,A22,A23,A24对应乘积之和为1/3A24,其等于0, 即是A24=0;
第四行元素1/4,0,0,0与第二行元素的代数余子式A21,A22,A23,A24对应乘积之和为1/4A21,其等于0, 即是A21=0;
3) 第一行元素0,1,0,0与第三行元素的代数余子式A31,A32,A33,A34对应乘积之和为A32,其等于0, 即是A32=0;
第二行元素0,0,1/2,0与第三行元素的代数余子式A31,A32,A33,A34对应乘积之和为1/2A33,其等于0, 即是A33=0;
第三行元素0,0,0,1/3与第三行元素的代数余子式A31,A32,A33,A34对应乘积之和为1/3A34,其等于|A|, 即是|A|=1/3A34;
第四行元素1/4,0,0,0与第三行元素的代数余子式A31,A32,A33,A34对应乘积之和为1/4A31,其等于0, 即是A31=0;
4 ) 第一行元素0,1,0,0与第四行元素的代数余子式A41,A42,A43,A44对应乘积之和为A42,其等于0;
第二行元素0,0,1/2,0与第四行元素的代数余子式A41,A42,A43,A44对应乘积之和为1/2A43,其等于0, 即是A43=0;
第三行元素0,0,0,1/3与第四行元素的代数余子式A41,A42,A43,A44对应乘积之和为1/3A44,其等于0, 即是A44=0;
第四行元素1/4,0,0,0与第四行元素的代数余子式A41,A42,A43,A44对应乘积之和为1/4A41,其等于|A|, 即是A41=4|A|;
因此 |A|的全部代数余子式之和为
A12+A23+A34+A41=|A|+2|A|+3|A|+4|A|=10|A|, 而|A|=-1/24,
所以|A|的全部代数余子式之和为
10(-1/24)=-5/12

在n阶行列式det(A)中，吧元素aij（(i,j)为下角标，下同）所在的第i行和第j列划去后，留下来的元素按原来次序所组成的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，计作Mij,而称Aij=-1的(i+j)次方再乘以Mij为元素aij的代数余子式。

在一个n级行列式d中,把元素aij
(i,j=1,2,n)所在的行与列划去后，剩下的(n-1)^2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式mij,称为元素aij的余子式，mij带上符号(-1)^(i+j)称为aij的代数余子式,记作aij=(-1)^(i+j)mij
a11=d
a12=-c
a21=-b
a22=a

A11 = 3,A12 = -1,
A21 = -5,A22 = 2
所以 A =
A11 A21
A12 A22
=
3 -5
-1 2
由 |A| = 23-51 = 1
所以 A^(-1) = A/|A| =
3 -5
-1 2

取A中第三行第二列的余子式
就要将矩阵A中
第二行第三列元素所在的行列去掉
这里显然就可以得到
a b
g h
而且余子式就是一个行列式
所以显然选择A

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