sinx的导数的详细的求导过程

(sinx)'=lim/(△x),其中△x→0,

将sin(x+△x)-sinx展开，

sinxcos△x+cosxsin△x-sinx,由于△x→0,故cos△x→1,

从而sinxcos△x+cosxsin△x-sinx→cosxsin△x,

于是（sinx)’＝lim(cosxsin△x)/△x,

△x→0时，lim(sin△x)/△x=1

所以

(sinx)’＝cosx

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。

lim x→0,[sin6x + xf(x)]/x³=0+α，其中lim x→0,α=0

即f(x)/x² = -sin6x/x³ + α

从而lim x→0,[6+f(x)]/x²

=lim x→0,( 6/x² - sin6x/x³ + α )

=lim x→0,(6x-sin6x)/x³，用洛必达法则

=lim x→0,[6(1-cos6x)]/3x²，用等价无穷小lim x→0,(1-cosx)等价于lim x→0,x²/2

=lim x→0,[ 6 × (6x)² × 1/2 ]/3x²

=36

极限

从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用。

所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史上是柯西(Cauchy，A-L)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值。

（sinx/x）'=[(sinx)'x-x'sinx]=(xcosx-sinx)/x^2
(sinx/x)''=[-x^3sinx-2x(xcosx-sinx)]/x^4
(sinx/x)'''=(7x^10sinx-x^11cosx+14x^9cosx-14x^8sinx)/x^16

有导数公式直接可以用f'(x)=-sinx
不用公式用定义就是
f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h=lim(h->0) [cos(x+h) - cosx]/h =lim(h->0) [-2sin(x+h/2)sin(h/2)]/h=lim(h->0) -sin(x+h/2)sin(h/2)/(h/2)=lim(h->0) -sin(x+h/2)=-sinx
根据和差化积公式cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
重要极限lim(x->0) sinx/x =1

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