模糊评价法

模糊评价法是一种基于模糊数学的综合评价方法。该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。

理论背景：

谈到模糊集对分析理论先要说集对分析理论。

集对分析理论(SPA)是我国学者赵克勤先生于1989 年创立的一门新兴学科,它是一种用联系数“a+bi+cj”统一处理模糊、随机、中介等不确定性系统的理论和方法。集对分析理论已在自然科学、社会经济等领域得到了广泛的应用。

在我们对不确定性系统的描述中，一种是描述随机不确定性的概率统计理论，一种是模糊不确定性的模糊集合理论。概率统计理论过分强调系统的独立性，而模糊逻辑理论则过分的依赖主观的经验，因而这两种理论都有不足之处。

模糊集对理论是将模糊逻辑理论用于集对分析，结合从两个集合的同一性、差异性和对立性三个方面来研究系统的不确定性。在处理不确定性问题时较为客观，运算也较简单，所以模糊集对分析理论已经成功运用于人工智能、系统控制、管理决策等领域。

它具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。 模糊集合理论的概念于1965 年由美国自动控制专家查德（L．A．Zadeh）教授提出，用以表达事物的不确定性。模糊综合评价法的应用程序。

1.评价指标权重的确定

由于地质环境质量影响因素有的通过定性来描述，有的通过定量来描述，因此应该选择一种指标权重确定方法既能确定定性指标的权重，又能确定定量指标的权重。只有通过这样的方法才能客观真实地反映出地质环境质量各影响因素对地质环境质量的影响程度。而层次分析法（AHP）就满足条件，其自变量既可以是定性变量又可以是定量变量，因此，采用层次分析法（AHP）来确定评价指标的权重。

（1）层次分析法的基本原理

层次分析（AHP）是美国著名的运筹学专家匹兹堡大学教授T.L.Saaty于20世纪70年代提出的，其原理简单，有较严格的数学依据，广泛应用于复杂系统的分析与决策。该方法确定权重的程序如下：

1）选定专家组：请对地质环境质量评价有一定研究和认识的专家组成专家组开展调查。调查的目的是应用专家们集体智慧，对地质环境质量影响因素的相对重要性进行评估。

2）构造判断矩阵：uij表示ui对uj的相对重要性数值，uij的取值按表3-5进行。

表3-5 地质环境评价指标重要性比较标度表

根据表3-5得到判断矩阵T

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3）计算重要性排序：根据判断矩阵，利用线性代数知识，精确地求出T的最大特征根所对应的特征向量。所求特征向量即为各评价因素的重要性排序，归一化后，也就是权重分配。一般情况下，阶数较高，可以用方根法、和积法等近似解法。这里主要介绍方根法。

计算特征向量（a）

1）计算判断矩阵每一行的乘积；W (i=1，2，3，…，m)

2）计算Wi的m次方根：

3）对向量W＝（W1，W2，…，Wm）作归一化处理，即 ，则a＝（a1，a2，a1，…，am）T即为所求的特征向量。

计算判断矩阵的最大特征根（λmax）

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式中：（Aa）i——向量（Aa）的第i个元素

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利用公式 进行一致性检验

式中：CR——判断矩阵的随机一致性比率；

CI——判断矩阵的一致性指标，由下式确定：

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RI——判断矩阵平均随机一致性指标（表3-6）。

表3-6 层次分析法的平均随机一致性指标值

（2）运用层次分析法确定各指标权重

（B1，B2，B3）的权重（B1：地质环境背景条件；B2：地质灾害与环境地质问题；B3：人类工程活动）

建立判断矩阵见表3-7。

表3-7 A-B判断矩阵

计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi

M1＝1.333，M2＝15，M3＝0.05

计算Mi的3次方根wi

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对方根向量规一化，即对向量 =( ， ， ，）T规一化

w1＝0.2797，w2＝0.6267，w3＝0.0927

计算判断矩阵的最大特征根λmax

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式中AWi表示向量AW的第i个元素。

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计算得

计算CR

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三阶矩阵的一致性指标RI＝0.58。

CR＝CI/RI＝0.0430/0.58＝0.074＜0.1，具有满意的一致性。

C1-C6相对于B1的权重见表3-8。

表3-8 B1-Ci（1，2，3，…，6）判断矩阵

λmax＝6.41544，CI＝0.08309，RI＝1.24，CR＝0.067＜0.1，具有满意的一致性。

C7-C11相对于B2的权重见表3-9。

表3-9 B2-Ci（7，8，…，11）判断矩阵

λmax＝5.17055，CI＝0.04264，RI＝1.12，CR＝0.038＜0.1，具有满意的一致性。

C12-C14相对于B3的权重见表3-10。

表3-10 B3-Ci（12，13，14）判断矩阵

λmax＝3.10784，CI＝0.05392，RI＝0.58，CR＝0.093＜0.1，具有满意的一致性。

层次总排序，即各项指标相对于目标层（A）的权重等于各个指标相对于类指标层的权重乘以类指标层相对于目标层的权重。最后得出综合权重见表3-11。

表3-11 地质环境质量定量评价指标综合权重表

2.模糊综合评判的评价步骤

步骤1，确定评价因素集、地质环境质量等级集、评价单元数集

（1）在1：50万胶东半岛环境地质问题分布图上以1cm×1cm为单元，将环境地质问题分布图网格化，共得到659个评价单元，即评价单元数集，O＝｛O1，O2，O3，…，O659｝，评价因素集内的元素为评价胶东半岛地质环境质量的评价指标，共13个指标：①地貌单元；②场地土类型；③浅层地下水开采量；④地下水污染状况；⑤区域地壳稳定性；⑥地震烈度；⑦地面变形灾害；⑧斜坡环境变异灾害；⑨地下水环境变异问题；⑩滨岸侵蚀问题； 人口密度（人/km2）； 单位面积地区生产总值（万元/km2）； 重大工程建设。即U＝｛u1，u2，…，u13，m＝13｝。地质环境质量等级集为具体界定该地区地质环境质量属于哪一级，优等（Ⅰ级）、良好（Ⅱ级）、一般（Ⅲ级）、较差（Ⅳ级）。即地质环境质量等级集：V＝｛v1，v2，v3，v4，n＝4｝。

对于胶东半岛地质环境质量评价指标的取值问题，本次计算主要是依据胶东半岛环境地质问题分布图以及山东省统计年鉴上相关信息进行取值的。

（2）步骤2，确定13个评价指标的权重，从而得到该向量的权重分配向量A

由于各因素对该地区地质环境质量的影响程度不一致，所以需要确定一下各因素在模糊综合评判中所占的比重即权重，根据前述层次分析法（AHP）所得到的权重向量为

A＝｛0.02707，0.05106，0.01612，0.09234，0.16341，0.01461，0.10467，0.20382，0.05005，0.02685，0.17403，0.05909，0.02048｝。

（3）步骤3，确定评价指标的隶属度

由于地质环境质量评价指标的概念外延是相对模糊的，即各指标之间的界限是模糊的，不确定的，因此对于各评价指标要确定其属于哪一个等级是比较困难的，只能判别该指标属于各评价等级的不同程度。因此，在此运用0～1之间的数值来反映某一因素对地质环境质量等级的不同影响程度（即隶属度）。随着各指标取值的不同，隶属度也在不断的变化中，即同一指标也可以隶属于不同的等级。

隶属度函数就是各评价指标不同取值和隶属度之间关系的函数。这里采用的是半梯形函数，对于定量评价指标其具体计算公式如下：

当j＝1时，正指标逆指标

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当j＝2，3时，正指标逆指标

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当j＝4时，正指标逆指标

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对于定性指标而言，其隶属度取值如下：

当定性因素为优等（Ⅰ级）时，（u1，u2，u3，u4）＝（1，0，0，0）

当定性因素为良好（Ⅱ级）时，（u1，u2，u3，u4）＝（0，1，0，0）

当定性因素为一般（Ⅲ级）时，（u1，u2，u3，u4）＝（0，0，1，0）

当定性因素为较差（Ⅳ级）时，（u1，u2，u3，u4）＝（0，0，0，1）

（4）步骤4，每个影响因素经过隶属度函数的计算，可以求得各自的隶属度从而能获得模糊综合评判矩阵R。

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式中：rij表示第i个（1≤i≤m）因素在第j个（1≤j≤n）地质环境质量等级上的隶属度，同时还满足如下关系： ＝1。

（5）步骤5，进行运算得到综合评价结果和所属的地质环境质量等级

模糊矩阵复合运算的方法很多，常用的有以下3种：

1）“主因素突出型”，即M（∧，∨）模型；

2）“半主因素突出型”即M（·，∨）模型；

3）“加权平均型”，即M（·，＋）模型。

上述三种模糊矩阵复合运算方法各有各的特点和优势，本书选用的是第三种：加权平均型，即M（·，＋）模型。同时建立起模糊矩阵计算结果和地质环境质量等级对应表（表13-9）。建立起模糊综合评判公式：B＝A·R，即运用加权平均模型得到的单元评价结果B是由模糊综合评判矩阵R和权值分配矩阵A相乘得到的，然后根据最大隶属度原则即可以得到某一评价单元的地质环境质量等级。例如，第i个评价单元，根据模糊综合评判公式得

Bi＝A·Ri＝（bi1，bi2，bi3，bi4），然后根据最大隶属度原则从bi1，bi2，bi3，bi4四个数值中选取最大的一个值bij，从而可以得到该评价单元i所属的地质环境质量等级。

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