一维复数序列的快速傅里叶变换（FFT）

设x（N）为N点有限长离散序列，代入式（8－3）、式（8－4），并令 其傅里叶变换（DFT）为

地球物理数据处理基础

反变换（IDFT）为

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两者的差异只在于W的指数符号不同，以及差一个常数1/N，因此下面我们只讨论DFT正变换式（8－5）的运算量，其反变换式（8－6）的运算是完全相同的。

一般来说，W是复数，因此，X（j）也是复数，对于式（8－5）的傅里叶变换（DFT），计算一个X（j）值需要N次复数乘法和N－1次复数加法。而X（j）一共有N个值（j＝0，1，…，N－1），所以完成整个DFT运算总共需要N2次复数乘法和N（N－1）次复数加法。

直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是与N2成正比的，当N很大时，运算量会很大，例如，当N＝8时，DFT需64次复数乘法；而当N＝1024时，DFT所需乘法为1048576次，即一百多万次的复数乘法运算，对运算速度要求高。所以需要改进DFT的计算方法，以减少运算次数。

分析Wjk，表面上有N2个数值，由于其周期性，实际上仅有N个不同的值W0，W1，…，WN－1。对于N＝2m时，由于其对称性，只有N/2个不同的值W0，W1，…，

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因此可以把长序列的DFT分解为短序列DFT，而前面已经分析DFT与N2成正比，所以N越小越有利。同时，利用ab＋ac＝a（b＋c）结合律法则，可以将同一个Wr对应的系数x（k）相加后再乘以Wr，就能大大减少运算次数。这就是快速傅里叶变换（FFT）的算法思路。

下面，我们来分析N＝2m情况下的FFT算法。

1.N＝4的FFT算法

对于m＝2，N＝4，式（8－5）傅里叶变换为

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将式（8－7）写成矩阵形式

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为了便于分析，将上式中的j，k写成二进制形式，即

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代入式（8－7），得

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分析Wjk的周期性来减少乘法次数

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则 代回式（8－9），整理得

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上式可分层计算，先计算内层，再计算外层时就利用内层计算的结果，可避免重复计算。写成分层形式

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则X（j1 j0）＝X2（j1 j0）。

上式表明对于N＝4的FFT，利用Wr的周期关系可分为m＝2步计算。实际上，利用Wr的对称性，仍可以对式（8－11）进行简化计算。考虑到

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式（8－11）可以简化为

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令j＝j0；k＝k0，并把上式表示为十进制，得

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可以看到，完成上式N＝4的FFT计算（表8－1）需要N·（m－1）/2＝2次复数乘法和N·m＝8次复数加法，比N＝4的DFT算法的N2＝16次复数乘法和N·（N－1）＝12次复数加法要少得多。

表8－1 N＝4的FFT算法计算过程

注：W0＝1；W1＝－i。

［例1］求N＝4样本序列1，3，3，1的频谱（表8－2）。

表8－2 N＝4样本序列

2.N＝8的FFT算法

类似N＝4的情况，用二进制形式表示，有

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写成分层计算的形式：

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则X（j2 j1 j0）＝X3（j2 j1 j0）。

对式（8－14）的X1（k1 k0 j0）进行展开，有

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还原成十进制，并令k＝2k1＋k0，即k＝0，1，2，3，有

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用类似的方法对式（8－14）的X2（k0 j1 j0），X3（j2 j1 j0）进行展开，整理得

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用式（8－16）、式（8－17）逐次计算到X3（j）＝X（j）（j＝0，1，…，7），即完成N＝23＝8的FFT计算，其详细过程见表8－3。

表8－3 N＝8的FFT算法计算过程

注：对于正变换 对于反变换 所

［例2］求N＝8样本序列（表8－4）x（k）＝1，2，1，1，3，2，1，2的频谱。

表8－4 N＝8样本序列

3.任意N＝2m的FFT算法

列出N＝4，N＝8的FFT计算公式，进行对比

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观察式（8－18）、式（8－19），不难看出，遵循如下规律：

（1）等式左边的下标由1递增到m，可用q＝1，2，…，m代替，则等式右边为q－1；

（2）k的上限为奇数且随q的增大而减小，至q＝m时为0，所以其取值范围为k＝0，1，2，…，（2m－q－1）；

（3）j的上限为奇数且随q的增大而增大，且q＝1时为0，其取值范围为j＝0，1，2，…，（2q－1－1）；

（4）k的系数，在等式左边为2q，等式右边为2q－1（包括W的幂指数）；

（5）等式左边序号中的常数是2的乘方形式，且幂指数比下标q小1，即2q－1；等式右边m对式子序号中的常数都是定值2m－1。

归纳上述规则，写出对于任意正整数m，N＝2m的FFT算法如下：

由X0（p）＝x（p）（p＝0，1，…，N－1）开始：

（1）对q＝1，2，…，m，执行（2）～（3）步；

（2）对k＝0，1，2，…，（2m－q－1）及j＝0，1，2，…，（2q－1－1），执行

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（3）j，k循环结束；

（4）q循环结束；由Xm（p）（p＝0，1，…，N－1）输出原始序列x（p）的频谱X（p）。

在计算机上很容易实现上述FFT算法程序，仅需要三个复数数组，编程步骤如下：

（1）设置复数数组X1（N－1），X2（N－1）和 （数组下界都从0开始）；

（2）把样本序列x赋给X1，即X1（k）＝x（k）（k＝0，1，…，N－1）；

（3）计算W，即正变换 反变换

（4）q＝1，2，…，m，若q为偶数，执行（6），否则执行第（5）步；

（5）k＝0，1，2，…，（2m－q－1）和j＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作

X2（2qk＋j）＝X1（2q－1k＋j）＋X1（2q－1k＋j＋2m－1）

X2（2qk＋j＋2q－1）＝［X1（2q－1k＋j）－X1（2q－1k＋j＋2m－1）］W（2q－1k）

至k，j循环结束；

（6）k＝0，1，2，…，（2m－q－1）和j＝0，1，2，…，（2q－1－1）循环，作

X1（2qk＋j）＝X2（2q－1k＋j）＋X2（2q－1k＋j＋2m－1）

X1（2qk＋j＋2q－1）＝［X2（2q－1k＋j）－X2（2q－1k＋j＋2m－1）］W（2q－1k）

至k，j循环结束；

（7）q循环结束，若m为偶数，输出X1（j），否则输出X2（j）（j＝0，1，…，N－1），即为所求。

假设采样频率Fs，在信号的频率F，对于N个采样点，然后在FFT之后的N个点的结果是一个复数。每个点对应的频率点。的模值，这一点，即，频率振幅特性的值。假设原始信号的峰值的值是A，则FFT结果的每个点（除了外面的第一点DC分量的模值）是A，N / 2次。第一点是DC分量，模量的值是N次的直流分量。和相位的每一个点，即，在该频率下的信号的相位。第一点说的直流分量（即，在0Hz），最后点N，然后点（事实上，这一点是不存在的，这里是假设的第N +1点，可以看出，第一点分两个半，另一半移到最后），所述采样频率Fs，平均分成N个相等的部分的N-1个点的中间，从而增加每个点的频率。例如，点n所表示的频率：

FN =第（n-1）* fs的/ N

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