常见的几种随机序列

在研究与分析问题中经常会遇到三种随机序列，下面分别进行介绍。

1.2.8.1 正态（高斯）随机序列

正态随机序列x（n）的N维联合高斯分布的概率密度函数为

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式中

X=［x1，x2，x3，…，xN］T，μ=［μx1，μx2，μx3，…，μxN］T

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式（1-54）表明，正态（高斯）随机序列仅决定于其均值矢量μ以及方差阵∑。具有指数型自相关函数的平稳高斯过程称为高斯-马尔可夫（Gauss-Markov（Марков））过程。这种信号的自相关函数和功率谱密度函数分别为

rxx（m）=σ2e-β｜m｜ （1-55）

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高斯——马尔可夫也是一种常见的随机信号，适合于大多数物理过程，具有较好的精确性，数学描述简单。因为当m→∞时，自相关函数趋近于0，所以均值为0，随机过程的自相关函数特性完全描述了过程的特性。

1.2.8.2 白噪声序列

如果随机序列x（n），其随机变量是两两不相关的，即

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式中

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则称该序列为白噪声序列；如果白噪声序列是平稳的，则

cov（xn，xm）=σ2δnm （1-58）

式中σ2是常数。设均值μxn=μ=0，其功率谱Pxx（ejω）=σ2，在整个频带上功率谱是一个常数。“白噪声”的名称由牛顿提出，他指出，白光包含了所有频率的光波，而在这里，功率谱Pxx（ejω）在整个频带上是一个常数，说明白噪声的功率谱是包含所有频率成分的序列。

如果白噪声序列服从正态分布，序列中随机变量的两两不相关性就是相互独立性，称之为正态（高斯）白噪声序列。显然，白噪声是随机性最强的随机序列，实际中不存在，是一种理想白噪声，一般只要信号的带宽大于系统的带宽，且在系统的带宽中信号的频谱基本恒定，便可以把信号看作白噪声。注意：正态和白色是两种不同的概念，前者是指信号取值的规律服从正态分布，后者指信号不同时刻取值的关联性。

1.2.8.3 谐波过程

谐波过程的描述如下：

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式中Ai、ωi均为常数，θi是一独立随机变量，在（-π，π］内服从均匀分布，即

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可以证明，这种谐波信号模型是平稳的，设N=1时，有

x（n）=A cos（ωn+θ）

它的统计平均值和自相关函数

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rxx（n+m，n）=E［x［n+m］x（n）］

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由于谐波过程的统计平均值与时间n无关，自相关函数仅与时间差m有关，谐波过程是平稳的。

当N大于1时，也有同样的结论，可以证明：

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随机序列的定义

随机序列（random sequence），更确切 的，应该叫做，随机变量序列。随机变量 序列，也就是随机变量形成的序列。有时 候为了简称，省略了变量二字。

随机序列的产生为了形容随机变量形成的 序列。

一般的，如果用X1，X2……Xn（表示n下 标于X）代表随机变量，这些随机变量如 果按照顺序出现，就形成了随机序列，记 做X^n（表示n上标于x）。这种随机序列 具备两种关键的特点：其一，序列中的每 个变量都是随机的；其二，序列本身就是 随机的。

随机序列举例说明

为了说明什么是随机序列，我们来举两个 例子。

假设我们持续扔一个色子，我们把这个事 件细分，那么这个事件应该包括扔第一次 色子得到的点数，扔第二次得到的点数， 直到扔第n次得到的点数。把每次扔的的 点数按顺序分别记做X1，X2……，Xn。这 里每个X的取值可能为{1 2 3 4 5 6}。那么 我们可以写出随机序列：

X^n = X1X2X3……Xn

更实际的，我们可以用高速路收费站来说 明。假设一个收费站有10个出口。那么， 把收费站出口出去的车数记做随机变量Xn ，这里Xn就是集合{X1，X2……，Xn}，集 合中每个元素的取值为{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}。那么如果按照时间顺序观察，不难得 出一个随机序列，这个序列表示出口出去 车数的一个变化情况，是一个序列，记做 ：

X^n = X1X2X3……Xn

它是好几个随机变量的序列.举个例子,一个城市的每天 的用电量是一个随机变量Y,每家每户的用电量 可以设为Xi,(i=1,2,3,.....),那么Y=X1+X2+X3+......, 这X1,X2,X3.....就是一个随机变量的序列.

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