matlab 材料力学计算程序

在小变形条件下，根据力的独立作用原理，无

论载荷多么复杂，都可以将其分解为若干简单载

1 复杂载荷作用F的简支梁

然后应用叠加法得到复杂载荷下梁内的弯矩：如

图1所示为受任意载荷的简支梁。在集中力偶、

集中力和分布载荷单独作用下的弯矩方程分别为

MM( )= RMA-丁+M( 一＆)

R ：一 M (1)

Mp( )= R^P —P( —b)

= 一 P

MfJ( )=R 一 1 q( —c)生二【】： ± 2 L (3)

则在集中力偶M 、集中力P和分布载荷q共同作

用下的弯矩方程为

M ( )= MM( )+MfJ( )+M ( ) (4)

以上各式中应用了跳跃函数，其意义如下

f 0 (I『≤ )

一L『 1( 。， ) ( >)

1．2 计算机分析的实现过程

根据上面介绍的计算模型可应用Matlab编

制如下的计算程序

clear；

L=input( L(In)= )．

M=input( M(KNm)= )．

a input( a(In)= )．

P=input( P(KNm)= )．

b=input( b(In)= )．

q=input( q(KN／m)= )；

c=input( c(In)= )．

d=input( d(In)= )．

nd= 3000；

nf=nd+l：

x=linspace(0，L，nf)；

dx=L／nd；

％ * * * * * * * * * * * * * * * * *

RMA= M／L；nl=a／dx+l；

MM1=RMA X(1：n1)：

MⅣI2=RMA X(nl+l：nf)+M ：

MM=[MMl，MM2 J；

％ * * * * * * * * * * * * * * * * * *

nl=b／dx+1；bb=L—b；

RPA=bb／L*P：

M[Pl=RPA*X(1：n1)；

M口f)2=RPA X(nl+l：nf)

P*(x(nl+l：nf)一b)；

MP=[MP1，MP2 J；

％ * * * * * * * * * * * * * * * * * *

nl=c／dx+l：

n2=d／dx+1；

RqA (L一0．5*(c+d))／L q*(d—c)；

Mql=RqA*X(1：n1)；

Mq2=RqA X(nl+l：n2)一

0．5 q (X(nl+l：n2)一禅祥c)． 2；

Mq3=RqA X(n2+l：nf)一

0．5 q*(X(n2+l：nf) c)．陆世 2

+0．5 q*(X(n2+l：nf)一d)． 2；

Mq=[Mql，Mq2，Mq3]；

‘J／n* * * * * * * * * * * * * * * * *

M = MM +MP+Mq：

subplot(2，l，1)；Mmax=max(M)，Mmin=

rain(M)

plot(X，M)，

title(’复杂早袭肢载荷作用下的弯矩图’)

grid

当L =3 In、M =15 kNm、q=30 kN／m、“

= 0．5 nl、6= l In、f=1．5 In、d =2．5 In时，运

行程序时，得到如图2所示的弯矩图，最大和最小

弯矩分别为Mmax=33．333 kN、Mmin=0=

计算结构力学（computational structural mechanics）以数值计算的方法，用电子计算机求解结构力学中的各类问题，所以又称计算机化的结构力学空锋。

简介：

用fortran语言，将一些结构问题编程，通过计算机进行计算、求解。

是土木工程专业必修课程之一。

计算力学的一个分支。它以数值计算的方法，用电子计算机求解结构力学中的各类问题，所以又称计算机化的结构力学。

20世纪50年代以来，计算结构力学的发展，使人们求解结构力学问题的能力提高了几个数量级。以静力学问题为例，50年代求解结构力学问题的规模，大约只是几十个未知数；到80年代初，已达到数以万计的未知数。以前求解整个结构的应力分布，不得不作很多甚至是过分的简化,所得结果往往不能令人满意现在则可以对整架飞机、整艘轮船、整个建筑物作详细的应力分析，并得到令人满意的结果。

基本方法：

计算结构迅碰力学的基本方法是：先把结构作离散化处理，然后在计算机上进行各种结构分析和结构优化设计。所谓离散化处理，就是用有限个待求数去近似地表达待求的连续函数。为描述某一个结构，例如梁、框架、板、壳或它们的组合体上的每一点的应力或位移，需用定义该结构的连续函数。计算机虽不能准确地计算出这些连续函数，却可以计算出它们在有限个点上的近似值。在计算结构力学中 ，应用最广的离散化方法是有限元法、有限差分方法和加权残数法。这些方法各有优点和局限性。

分类：

根据引起非线性反应的根源，非线性结构力学问题可分两类:①材料非线性问题,或称物理非线性问题。这类问题的非线性反应是由结构材料的非线性本构方程引起的。例如，对于用一般的金属材料制成的结构，斗昌晌在应力超过比例极限点以后，结构的变形随外载的变化就是非线性的。一般地说，材料性质不仅和应变状态、应变速度有关，而且和变形的历史有关。因此，即使在小变形条件下，有时也须考虑这种非线性的本构关系。②几何非线性问题。这类问题的非线性反应是由结构的大变形和大位移梯度引起的。要解这类问题须考虑位移与应变的几何关系中位移的二阶导数项，并按照变形后的结构形状建立平衡方程。这时，要引入初应力矩阵（或称几何矩阵）和初位移矩阵（或称大位移矩阵）来修正结构的刚度矩阵。

除结构分析外，计算结构力学比传统的结构力学还多了结构优化设计方面的内容。结构优化设计的任务是在一定的约束条件下（例如满足强度和刚度要求、适应某些工艺条件等）,按某种目标寻找最优的设计方案,例如寻求重量最轻、成本最低、刚度最大的设计方案。

为了更好地完成计算结构力学在结构分析和优化设计两方面的任务，还需要建立专门的结构软件系统。这类系统在70年代得到了迅速的发展和广泛的应用。

力学现象的数学模拟，常常归结为求解常微分方程、偏微分方程、积分方程、或代数方程。求解这些方程的方法有两类：一类是求分析解，即以公式表示的解；另一类是求数值解，即以成批数字表示的解。很多力学问题相当复杂，特别是复杂的偏微分方程组，一般难以得出它们的分析解，而用数值方法求解则运算步骤繁复，耗用人力很多，因此在电子计算机出现以前，非不得已不用。20世纪50年代以来，出现了配有现代程序设计语言的通用数字计算机。计算机的快速运算和大存贮量，使解复杂的力学问题成为可能。三十多年来，随着计算机的改进，数值方法得到广泛的应用和很大的发展；主要是考虑算得更快、更准、省钱，并为原先不能算的问题构造算法。数值方法很多，求解偏微分方程数值解，以有限差分方法和有限元法使用最广；此外，还有变分方法、直线法、特征线法和谱方法，等等。这些方法的实质绝大多数是将偏微分方程问题化成代数问题，然后再用计算机求未知函大孝数数的数值解。 有简单、灵活和通用性强等特点。用差分方法求数值解时，须先将自变量的定义域“离散化”，即只企图算自变量定义域中有限个点的未知函数的近似值。如果自变量只有一个，则可把要计算的区间离散成个线段。如果自变量有两个，而计算区域是图1[二变量区域的离散化]所示的矩形，则最简单的离散方式是把区域分成乘个小矩形。小矩形的长 和宽分别叫作方向和方向的步长。微分方程中出现的偏导数(，)， 在微积分中是差商的极限，在有限差分方法中则代以差商。如图1[二变量区域的离散化]中点的有的情形可代以差商(()-())/2，有的情形可代以(()-())/，如果有二阶偏导滚首数，常常可代以二阶差商(()-2()+())/2，其中()、()和()分别表示相应点的值。 如以适当的差商来代替微分方程每一个导数，就得到对应于

原微分方程的差分方程怎样选差商至关重要。此外，偏微分方程总还要附加边界或初始条件，这些条件也要用差分形式表示。这样，对于每个网格点的未知函数慎罩值作出未知量的代数方程组。如果网格分得较密，即步长和都比较小，或与 的数值都比较大，则所得代数方程组的未知量的数目将很大，但借助计算机，还是可以很快求出解来。由于步长无法取为零，因此用差分方法只能求得原微分方程的近似解。但只要选择合理的差商和步长，计算结果仍能令人满意，有时还能得到精度很高的解。有限元法

这种方法是把计算区域剖分成大小不等的三角形（或其他形状的）单元，然后在各单元上用适当的插值函数来代替未知函数。根据变分原理，可将偏微分方程化成代数方程来求解。这种方法具有很广泛的适应性，特别适于求解具有复杂边界形状和物理条件的问题，而且很容易在计算机上实现。1970年以来已研究出一些适用于广泛的线性问题的有限元通用程序，对工程设计起很大作用。按照有限元法剖分的思想，把汽车外壳剖分成大小不等的许多三角形单元，而对弯曲边界只须裁弯取直即可。在应力变化剧烈和要求精确计算的地方，须把单元取得小些；在变化不剧烈的地方则可取得大些。用这种方法不仅可以适应复杂的区域，还可以尽量减少总的单元数目，从而减少未知量的数目。如果在有限差分方法中用矩形网格，则较难处理如此复杂的区域。