在小变形条件下,根据力的独立作用原理,无
论载荷多么复杂,都可以将其分解为若干简单载
1 复杂载荷作用F的简支梁
然后应用叠加法得到复杂载荷下梁内的弯矩:如
图1所示为受任意载荷的简支梁。在集中力偶、
集中力和分布载荷单独作用下的弯矩方程分别为
MM( )= RMA-丁+M( 一&)
R :一 M (1)
Mp( )= R^P —P( —b)
= 一 P
MfJ( )=R 一 1 q( —c)生二【】: ± 2 L (3)
则在集中力偶M 、集中力P和分布载荷q共同作
用下的弯矩方程为
M ( )= MM( )+MfJ( )+M ( ) (4)
以上各式中应用了跳跃函数,其意义如下
f 0 (I『≤ )
一L『 1( 。, ) ( >)
1.2 计算机分析的实现过程
根据上面介绍的计算模型可应用Matlab编
制如下的计算程序
clear;
L=input( L(In)= ).
M=input( M(KNm)= ).
a input( a(In)= ).
P=input( P(KNm)= ).
b=input( b(In)= ).
q=input( q(KN/m)= );
c=input( c(In)= ).
d=input( d(In)= ).
nd= 3000;
nf=nd+l:
x=linspace(0,L,nf);
dx=L/nd;
% * * * * * * * * * * * * * * * * *
RMA= M/L;nl=a/dx+l;
MM1=RMA X(1:n1):
MⅣI2=RMA X(nl+l:nf)+M :
MM=[MMl,MM2 J;
% * * * * * * * * * * * * * * * * * *
nl=b/dx+1;bb=L—b;
RPA=bb/L*P:
M[Pl=RPA*X(1:n1);
M口f)2=RPA X(nl+l:nf)
P*(x(nl+l:nf)一b);
MP=[MP1,MP2 J;
% * * * * * * * * * * * * * * * * * *
nl=c/dx+l:
n2=d/dx+1;
RqA (L一0.5*(c+d))/L q*(d—c);
Mql=RqA*X(1:n1);
Mq2=RqA X(nl+l:n2)一
0.5 q (X(nl+l:n2)一禅祥c). 2;
Mq3=RqA X(n2+l:nf)一
0.5 q*(X(n2+l:nf) c).陆世 2
+0.5 q*(X(n2+l:nf)一d). 2;
Mq=[Mql,Mq2,Mq3];
‘J/n* * * * * * * * * * * * * * * * *
M = MM +MP+Mq:
subplot(2,l,1);Mmax=max(M),Mmin=
rain(M)
plot(X,M),
title(’复杂早袭肢载荷作用下的弯矩图’)
grid
当L =3 In、M =15 kNm、q=30 kN/m、“
= 0.5 nl、6= l In、f=1.5 In、d =2.5 In时,运
行程序时,得到如图2所示的弯矩图,最大和最小
弯矩分别为Mmax=33.333 kN、Mmin=0=
计算机:计算结构力学(computational structural mechanics)以数值计算的方法,用电子计算机求解结构力学中的各类问题,所以又称计算机化的结构力学空锋。
简介:
用fortran语言,将一些结构问题编程,通过计算机进行计算、求解。
是土木工程专业必修课程之一。
计算力学的一个分支。它以数值计算的方法,用电子计算机求解结构力学中的各类问题,所以又称计算机化的结构力学。
20世纪50年代以来,计算结构力学的发展,使人们求解结构力学问题的能力提高了几个数量级。以静力学问题为例,50年代求解结构力学问题的规模,大约只是几十个未知数;到80年代初,已达到数以万计的未知数。以前求解整个结构的应力分布,不得不作很多甚至是过分的简化,所得结果往往不能令人满意现在则可以对整架飞机、整艘轮船、整个建筑物作详细的应力分析,并得到令人满意的结果。
基本方法:
计算结构迅碰力学的基本方法是:先把结构作离散化处理,然后在计算机上进行各种结构分析和结构优化设计。所谓离散化处理,就是用有限个待求数去近似地表达待求的连续函数。为描述某一个结构,例如梁、框架、板、壳或它们的组合体上的每一点的应力或位移,需用定义该结构的连续函数。计算机虽不能准确地计算出这些连续函数,却可以计算出它们在有限个点上的近似值。在计算结构力学中 ,应用最广的离散化方法是有限元法、有限差分方法和加权残数法。这些方法各有优点和局限性。
分类:
根据引起非线性反应的根源,非线性结构力学问题可分两类:①材料非线性问题,或称物理非线性问题。这类问题的非线性反应是由结构材料的非线性本构方程引起的。例如,对于用一般的金属材料制成的结构,斗昌晌在应力超过比例极限点以后,结构的变形随外载的变化就是非线性的。一般地说,材料性质不仅和应变状态、应变速度有关,而且和变形的历史有关。因此,即使在小变形条件下,有时也须考虑这种非线性的本构关系。②几何非线性问题。这类问题的非线性反应是由结构的大变形和大位移梯度引起的。要解这类问题须考虑位移与应变的几何关系中位移的二阶导数项,并按照变形后的结构形状建立平衡方程。这时,要引入初应力矩阵(或称几何矩阵)和初位移矩阵(或称大位移矩阵)来修正结构的刚度矩阵。
除结构分析外,计算结构力学比传统的结构力学还多了结构优化设计方面的内容。结构优化设计的任务是在一定的约束条件下(例如满足强度和刚度要求、适应某些工艺条件等),按某种目标寻找最优的设计方案,例如寻求重量最轻、成本最低、刚度最大的设计方案。
为了更好地完成计算结构力学在结构分析和优化设计两方面的任务,还需要建立专门的结构软件系统。这类系统在70年代得到了迅速的发展和广泛的应用。
力学现象的数学模拟,常常归结为求解常微分方程、偏微分方程、积分方程、或代数方程。求解这些方程的方法有两类:一类是求分析解,即以公式表示的解;另一类是求数值解,即以成批数字表示的解。很多力学问题相当复杂,特别是复杂的偏微分方程组,一般难以得出它们的分析解,而用数值方法求解则运算步骤繁复,耗用人力很多,因此在电子计算机出现以前,非不得已不用。20世纪50年代以来,出现了配有现代程序设计语言的通用数字计算机。计算机的快速运算和大存贮量,使解复杂的力学问题成为可能。三十多年来,随着计算机的改进,数值方法得到广泛的应用和很大的发展;主要是考虑算得更快、更准、省钱,并为原先不能算的问题构造算法。数值方法很多,求解偏微分方程数值解,以有限差分方法和有限元法使用最广;此外,还有变分方法、直线法、特征线法和谱方法,等等。这些方法的实质绝大多数是将偏微分方程问题化成代数问题,然后再用计算机求未知函大孝数数的数值解。 有简单、灵活和通用性强等特点。用差分方法求数值解时,须先将自变量的定义域“离散化”,即只企图算自变量定义域中有限个点的未知函数的近似值。如果自变量只有一个,则可把要计算的区间离散成个线段。如果自变量有两个,而计算区域是图1[二变量区域的离散化]所示的矩形,则最简单的离散方式是把区域分成乘个小矩形。小矩形的长 和宽分别叫作方向和方向的步长。微分方程中出现的偏导数(,), 在微积分中是差商的极限,在有限差分方法中则代以差商。如图1[二变量区域的离散化]中点的有的情形可代以差商(()-())/2,有的情形可代以(()-())/,如果有二阶偏导滚首数,常常可代以二阶差商(()-2()+())/2,其中()、()和()分别表示相应点的值。 如以适当的差商来代替微分方程每一个导数,就得到对应于
原微分方程的差分方程怎样选差商至关重要。此外,偏微分方程总还要附加边界或初始条件,这些条件也要用差分形式表示。这样,对于每个网格点的未知函数慎罩值作出未知量的代数方程组。如果网格分得较密,即步长和都比较小,或与 的数值都比较大,则所得代数方程组的未知量的数目将很大,但借助计算机,还是可以很快求出解来。由于步长无法取为零,因此用差分方法只能求得原微分方程的近似解。但只要选择合理的差商和步长,计算结果仍能令人满意,有时还能得到精度很高的解。有限元法
这种方法是把计算区域剖分成大小不等的三角形(或其他形状的)单元,然后在各单元上用适当的插值函数来代替未知函数。根据变分原理,可将偏微分方程化成代数方程来求解。这种方法具有很广泛的适应性,特别适于求解具有复杂边界形状和物理条件的问题,而且很容易在计算机上实现。1970年以来已研究出一些适用于广泛的线性问题的有限元通用程序,对工程设计起很大作用。按照有限元法剖分的思想,把汽车外壳剖分成大小不等的许多三角形单元,而对弯曲边界只须裁弯取直即可。在应力变化剧烈和要求精确计算的地方,须把单元取得小些;在变化不剧烈的地方则可取得大些。用这种方法不仅可以适应复杂的区域,还可以尽量减少总的单元数目,从而减少未知量的数目。如果在有限差分方法中用矩形网格,则较难处理如此复杂的区域。
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