文正·高等数学每日一题(2)·一道“小学生”面积题

文正·高等数学每日一题(2)·一道“小学生”面积题

        众所周知，小学生题包罗万象，做不来的题都叫小学生题。这就来了，之前在网上看到一个求阴影面积的“小学生”题，如下：

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题：

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答：

        这类圆和矩形重叠的题很典型，自以为通过割补、重叠等 *** 作可以像小学生一样求出面积，但是尝试后就会发现，貌似总是缺了一点东西。对，正常的小学生题应该是左下角的曲边三角也是阴影，那样就可以通过割补法之类的凑成规则的图形求解。因此这道题的核心本质就是求左下角的小曲边三角形面积。类似的还有以下这道题，本质上是一样的。

 话不多说，开始。抽象出以下模型，假设圆半径为1。

 可以看到

因此最主要的就是求弓形面积 ，而其关键便是求其所对的圆心角。

方法一：勾股定理

        做以下辅助线：

设，则根据相似三角形有，在中，应用勾股定理，得到：

故得到，则有，，根据三角函数则有，则，则有：

而

则有

 方法二：三角函数

        作以下辅助线

 则有

关键是求. 记，则有，，则有

故有

 方法三：积分

        最直接暴力的方法当然是用微积分了，以A点为原点建立坐标系，关键求交点P坐标。

设P=，根据，有

得，则有面积积分：

 方法四：蒙特卡洛模拟

        若只是求数值解，有一种实验性的方法，即蒙特卡洛方法，对于不规则图形面积求解尤其方便，只需要短短几行代码便可实现。

        其基本思想是：往图形中均匀撒点，那么当撒点数很大时，落在每个区域的点数占比等于面积占比，典型的案例就是求圆周率及Buffon投针实验。

 Python代码如下：

import numpy as np
N = 10000000
counts = 0
for i in range(N):
    point = np.random.random(2)
    if not ((point[1] < point[0] / 2) and ((point[0]-1.)**2+(point[1]-1.)**2>1)):
        counts = counts + 1
print("阴影部分面积近似为：", 1- counts / N * 1**2)

        这里由于阴影部分面积比较小，若统计掉在其内的粒子数会较少，相同总粒子数时，误差会较大。因此可以反过来统计掉在区域外的粒子数，求区域外面积，然后作差。上述代码运行结果为0.078257，已经很接近真实面积了。相对误差随总粒子数的变化见下图。通过一些适当加速方法可以提高蒙卡收敛的速度，可以通过更小的粒子数得到误差较小的结果。

        综上所述，该题不可能是小学生题，至少要知道勾股定理及三角函数，应当是高中题较为合适。当然，如果小学已经会Python了，那当我没说。