05线性代数 问题笔记

05线性代数 问题笔记 P1 线性代数

P2 线性代数实现

课程代码对应Judpyter笔记本中的位置：d2l-zh/pytorch/chapter_preliminaries/linear-algebra.ipynb

练习：

• 证明一个矩阵퐀的转置的转置是퐀：(퐀⊤)⊤=퐀。

A = torch.arange(6).reshape(2,3)
A.T.T==A
tensor([[True, True, True],
        [True, True, True]])

• 出两个矩阵퐀和퐁，显示转置的和等于和的转置：퐀⊤+퐁⊤=(퐀+퐁)⊤。

A = torch.arange(6).reshape(2,3)
B = torch.ones(6).reshape(2,3)
A.T+B.T==(A+B).T
tensor([[True, True],
        [True, True],
        [True, True]])

• 给定任意方矩阵퐀，퐀+퐀⊤总是对称的吗?为什么?

A = torch.arange(9).reshape(3,3)
(A+A.T).T==A+A.Ttensor([[True, True],
        [True, True],
        [True, True]])

 （A+A.T）.T=A.T+(A.T).T=A.T+A

• 我们在本节中定义了形状（2,3,4）的张量X。len(X)的输出结果是什么？
• 对于任意形状的张量X,len(X)是否总是对应于X特定轴的长度?这个轴是什么?

X = torch.arange(24).reshape(4,3,2)
Y = torch.arange(24).reshape(2,3,4)
Z = torch.arange(24).reshape(3,2,4)
Q =torch.arange(12).reshape(3,4)
T =torch.arange(12).reshape(1,2,3,2)
len(X),len(Y),len(Z),len(Q),len(T)

(4, 2, 3, 3, 1)

 看上去是的，都是第0轴。

• 运行A/A.sum(axis=1)，看看会发生什么。你能分析原因吗？

A = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape(3,4)
A/A.sum(axis=1)

RuntimeError                              Traceback (most recent call last)
 in 
      1 A = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape(3,4)
      2 
----> 3 A/A.sum(axis=1)

RuntimeError: The size of tensor a (4) must match the size of tensor b (3) at non-singleton dimension 1

 A.sum(axis=1)把列降维，结果为tensor([ 6., 22., 38.])，不能和列数为4的矩阵进行运算（方阵时候可以）

• 当你在曼哈顿的两点之间旅行时，你需要在坐标上走多远，也就是说，就大街和街道而言？你能斜着走吗？

首先去不了曼哈顿。街道中两点坐标距离不能斜着走，走的是一范数吧 

• 考虑一个具有形状（2,3,4）的张量，在轴0,1,2上的求和输出是什么形状?

A = torch.arange(24).reshape(2,3,4)
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis2 = A.sum(axis=2)
A,A_sum_axis0,A_sum_axis1,A_sum_axis2

(tensor([[[ 0,  1,  2,  3],
          [ 4,  5,  6,  7],
          [ 8,  9, 10, 11]],
 
         [[12, 13, 14, 15],
          [16, 17, 18, 19],
          [20, 21, 22, 23]]]),
 tensor([[12, 14, 16, 18],
         [20, 22, 24, 26],
         [28, 30, 32, 34]]),
 tensor([[12, 15, 18, 21],
         [48, 51, 54, 57]]),
 tensor([[ 6, 22, 38],
         [54, 70, 86]]))

• 向linalg.norm函数提供3个或更多轴的张量，并观察其输出。对于任意形状的张量这个函数计算得到什么?

A = torch.arange(6, dtype=torch.float32).reshape(1,2,3)
B = torch.arange(12, dtype=torch.float32).reshape(1,2,3,2)
torch.linalg.norm(A),torch.linalg.norm(B)

(tensor(7.4162), tensor(22.4944))

 得到的是矩阵的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm），即矩阵元素平方和的平方根

linalg.norm函数求范数参考链接：numpy.linalg.norm(求范数) - 理想几岁 - 博客园

P3 按特定轴求和

默认情况下，调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度，使它变为一个标量。 我们还可以[指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度]。以矩阵为例，为了通过求和所有行的元素来降维（轴0），我们可以在调用函数时指定axis=0。 由于输入矩阵沿0轴降维以生成输出向量，因此输入的轴0的维数在输出形状中丢失。