离散对数问题( DLP ) 给定素数 p, α alpha α, β beta β 是模 p 非零的整数,令 β = α x m o d p beta = alpha^xmod p β=αxmodp ,则求 x 的问题称为离散对数问题。
生日攻击是一种密码攻击,它利用概率论中生日问题背后的数学原理。攻击取决于随机攻击中的高 碰撞 概率和固定置换次数( 鸽巢原理 )。通过生日攻击,可以在 2 n = 2 n / 2 sqrt{2^n} = 2 ^ {n / 2} 2n =2n/2中找到哈希函数的碰撞碰撞,其中 2 n 2 ^ {n} 2n 是经典的预测阻力安全。生日攻击是用来指代一类暴力攻击的名称。它得名于一个令人惊讶的结果:在一个23人的群体中,两个或更多人拥有相同生日的概率大于1/2;这种结果被称为生日悖论。
生日问题例如,考虑这样一个场景:一个班级有30名学生(n = 30)的教师要求每个人的生日(为简单起见,忽略闰年),以确定是否有任何两个学生具有相同的生日(对应于进一步描述的哈希冲突)。直观地说,这个机会可能看起来很小。与直觉相反,至少有一个学生的概率与任何一天的任何其他学生的生日相同,大约为70%(对于n = 30),公式 1 − 365 ! ( 365 − n ) ! ⋅ 36 5 n 1-frac{365!}{(365-n)!·365^n} 1−(365−n)!⋅365n365!
如果老师选择了一个特定的日期(比如9月16日),那么至少有一个学生出生在那个特定日期的几率是,大约是 1 − ( 364 / 365 ) 30 1 - (364/365)^{30} 1−(364/365)30 7.9%。
实现输入为生成元 α alpha α 的阶 p − 1 p - 1 p−1 和元 β beta β;输出为离散对数 x = log α β x = log_alpha beta x=logαβ,即要求解 β ≡ α x m o d p beta equiv alpha^x mod p β≡αxmodp。
设置两个长度为 p sqrt p p 的列表:
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列表 1 包含 α k m o d p alpha^kmod p αkmodp,通过随机选取 p sqrt p p 个 k k k得到;
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列表 2 包含 β α − l m o d p betaalpha^{-l}mod p βα−lmodp,通过随机选取 p sqrt p p 个 l l l得到;
则 在 两 个 列 表 中 很 有 可 能 出 现 重 复 的 项 , 即 α k = β α − l alpha^k=betaalpha^{-l} αk=βα−l, 因 此 α k + l = β m o d p alpha^{k+l}=beta mod p αk+l=βmodp,那么 x = k + l m o d ( p − l ) x=k+l mod {(p-l)} x=k+lmod(p−l)就是要找的离散对数 。
import math import random def getRandomList(n): """集合方式实现生成n个随机数""" numbers = [] while len(numbers) < n: i = random.randint(0, 100) if i not in numbers: numbers.append(i) return numbers def brithAttack(alpha, beta, p): sqrt_p = int(math.sqrt(p)) # 初始化两个列表 list_k_value = [] list_l_value = [] # 生成 sqrt(p) 长度的随机数集合 list_k = getRandomList(sqrt_p) list_l = getRandomList(sqrt_p) # 生成 sqrt(p) 长度的 for i in range(sqrt_p): # 计算出 alpha^k mod p并放入集合,同时在另一列表记录下k item_k = pow(alpha, list_k[i], p) list_k_value.append(item_k) # 计算出 beta * alpha^{-l} mod p 并放入集合,同时在另一列表记录下l item_l = beta * pow(alpha, -list_l[i], p) % p list_l_value.append(item_l) print(list_k_value) print(list_l_value) # 求出合集 coincide = set(list_k_value) & set(list_l_value) print(coincide) if not coincide: print("集合为空") return False else: for same in coincide: k_index = list_k_value.index(same) l_index = list_l_value.index(same) k_value = list_k[k_index] l_value = list_l[l_index] x = k_value + l_value print("求出了x") print(x % (p - 1)) return True if __name__ == '__main__': while True: if brithAttack(alpha=19, beta=298, p=521): break
带入数据检测发现结果正确
298 = 1 9 17 m o d 521 , 17 = log 19 298 m o d 521 298=19^{17} mod 521,17 = log_{19}298 mod 521 298=1917mod521,17=log19298mod521
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