https://www.luogu.com.cn/problem/P1466
题目描述:
对于从
1
∼
n
1sim n
1∼n的连续整数集合,能划分成两个子集合,且保证每个集合的数字和是相等的。举个例子,如果
n
=
3
n=3
n=3,对于
{
1
,
2
,
3
}
{1,2,3}
{1,2,3}能划分成两个子集合,每个子集合的所有数字和是相等的:
{
3
}
{3}
{3}和
{
1
,
2
}
{1,2}
{1,2}是唯一一种分法(交换集合位置被认为是同一种划分方案,因此不会增加划分方案总数)。如果
n
=
7
n=7
n=7,有四种方法能划分集合
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
}
{1,2,3,4,5,6,7 }
{1,2,3,4,5,6,7},每一种分法的子集合各数字和是相等的:
{
1
,
6
,
7
}
{1,6,7}
{1,6,7}和
{
2
,
3
,
4
,
5
}
{2,3,4,5}
{2,3,4,5}
{
2
,
5
,
7
}
{2,5,7}
{2,5,7}和
{
1
,
3
,
4
,
6
}
{1,3,4,6}
{1,3,4,6}
{
3
,
4
,
7
}
{3,4,7}
{3,4,7}和
{
1
,
2
,
5
,
6
}
{1,2,5,6}
{1,2,5,6}
{
1
,
2
,
4
,
7
}
{1,2,4,7}
{1,2,4,7}和
{
3
,
5
,
6
}
{3,5,6}
{3,5,6}
给出 n n n,你的程序应该输出划分方案总数。
输入格式:
输入文件只有一行,且只有一个整数
n
n
n。
输出格式:
输出划分方案总数。
数据范围:
对于
100
%
100%
100%的数据,
1
≤
n
≤
39
1le n le 39
1≤n≤39。
先求 s = 1 + 2 + . . . + n s=1+2+...+n s=1+2+...+n,如果 s s s是奇数则不存在方案,否则即求 s / 2 s/2 s/2被 1 , 2 , . . . , n 1,2,...,n 1,2,...,n表示为和的方案数除以 2 2 2(划分有对称性),这可以用 0 − 1 0-1 0−1背包问题的做法来做。设 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]是只考虑 1 ∼ i 1sim i 1∼i这些数的情况下,和为 j j j的组合方案数,那么 f [ 0 ] [ 0 ] = 1 , f [ 0 ] [ . > 0 ] = 0 f[0][0]=1,f[0][.>0]=0 f[0][0]=1,f[0][.>0]=0。按照 i i i这个数取不取可以分类,如果不取,有 f [ i − 1 ] [ j ] f[i-1][j] f[i−1][j]种方案,如果取,有 f [ i − 1 ] [ j − i ] f[i-1][j-i] f[i−1][j−i]种方案。所以有: f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j ] + f [ i − 1 ] [ j − i ] f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i] f[i][j]=f[i−1][j]+f[i−1][j−i]考虑空间优化,每行从大到小遍历即可。代码如下:
#includeusing namespace std; const int N = 39 * 40 / 2 + 10; int n, s; long f[N]; int main() { scanf("%d", &n); s = n * (n + 1) / 2; if (s % 2 != 0) puts("0"); else { f[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = s / 2; j >= i; j--) f[j] += f[j - i]; printf("%d", f[s / 2] / 2); } return 0; }
时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3),空间 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
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