LeetCode 96. Unique Binary Search Trees - 二叉搜索树（Binary Search Tree）系列题1

LeetCode 96. Unique Binary Search Trees - 二叉搜索树（Binary Search Tree）系列题1

Given an integer n, return the number of structurally unique BST's (binary search trees) which has exactly n nodes of unique values from 1 to n.

Example 1:

Input: n = 3
Output: 5

Example 2:

Input: n = 1
Output: 1

Constraints:

1 <= n <= 19

题目大意是给定一个正整数n，如果以值从1到n创建n个节点，那么这n个节点能构造出几科不一样的二叉搜索树。

二叉搜索的特点是左子树所有节点值不大于根节点值，右子树所有节点值不小于根节点值。如果我们从1~n范围内取一个值i作为根节点，那么左子树的节点个数就是i-1个, 右子树的节点个数是n-i个，如果能知道i-1个节点和n-i个节点分别能构造出多少棵二叉搜索树，那么二者相乘就是以i为根节点的二叉搜索树的个数。分别以从1到n的每个值为根节点的树个数总和就是n个节点所能构造的个数。很显然节点数为0或1时只能有一个棵树(0个节点可以被看成一棵空树)，因此可以用递归法。另外随着不停的分割和递归，左右两边会出现很多相同的数字，这会造成很多重复计算，因此需要把已经算过的数记录下来，以便再出现时直接返回而不是再一次递归求解。

class Solution:        
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        mem = {}
        
        def helper(n):
            if n <= 0:
                return 1
            nonlocal mem
            if n in mem:
                return mem[n]
            res = 0
            for i in range(1, n + 1):
                res += helper(i - 1) * helper(n - i)
            mem[n] = res
            return res
        
        return helper(n)

注：这题还可以用动态规划法，将在将在刷DP系列时再用DP法再刷一遍这题。