3. 完全背包问题

3. 完全背包问题 3. 完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0 输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

朴素版本：

#include 
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int dp[N][N], v[N], w[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++)
            for (int k = 0; k * v[i] <= j; k++)
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
    
    cout << dp[n][m] << endl;
}

优化：

dp[i] [j-v] = max(dp[i - 1] [j - v], dp[i - 1] [j - 2 * v] + w, dp[i - 1] [j - 3 * v] + 2 * w, …)；
而我们需要的dp[i] [j]的状态表示是：
dp[i] [j]= max(dp[i - 1] [j], dp[i - 1] [j - v] + w, dp[i - 1] [j - 2 * v] + 2 * w, dp[i - 1] [j - 3 * v] + 3 * w);
将每一项一一比对，我们可以得到下列状态表示:
dp[i] [j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i] [j - v] +w)；

#include 
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int dp[N][N], v[N], w[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= m; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if (j >= v[i])
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << dp[n][m] << endl;
    return 0;
}

滚动数组优化

状态转移方程：dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i])

#include 
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int dp[N], v[N], w[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = v[i]; j <= m; j++)//正序
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << dp[m];
    return 0;
}