傅里叶级数展开式是什么？

傅里叶级数展开公式如下：

傅里叶级数像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。

傅里叶展开式收敛性判别

至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。

在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：在定义区间上，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

以上资料参考：百度百科-傅里叶展开式

Fourier series

一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

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傅里叶级数的公式

给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：

<math>x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi})t}</math>（j为虚数单位）（1）

其中，<math>a_k</math>可以按下式计算：

<math>a_k=\frac\int_x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi})t}</math>（2）

注意到<math>f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi})t}</math>是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，<math>k=\pm 1</math>时具有基波频率<math>\omega_0=\frac{2\pi}</math>，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

傅里叶级数的收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t)须绝对可积；

在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；

在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

三角函数族的正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

<math>\int _^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0</math>

<math>\int _^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0(m\ne n)</math>

<math>\int _^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0(m\ne n)</math>

<math>\int _^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi</math>

<math>\int _^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi</math>

奇函数和偶函数

奇函数<math>f_o(x)</math>可以表示为正弦级数，而偶函数<math>f_e(x)</math>则可以表示成余弦级数：

<math>f_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx)</math>

<math>f_e(x) = \frac+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx)</math>只要注意到欧拉公式: <math>e^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta</math>，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

广义傅里叶级数

任何正交函数系<math>\{ \phi(x)\}</math>，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程：

<math>\int _^f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^_</math>(4)，

那么级数<math>\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x)</math>(5) 必然收敛于f(x)，其中:

<math>c_n=\int _^f(x)\phi_n(x)\,dx</math>(6)。

事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：

<math>\int _^f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^_</math>成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基<math>\{e_i\}^_{i=1}</math>，向量x在<math>e_i</math>上的投影总为<math><x,e_i></math>。