十字相乘法怎么计算

十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式

的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法）

然后按斜线交叉相乘、再相加，若有

，则有

，否则，需交换

的位置再试，若仍不行，再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止。

在我们做因式分解题时，可以参照下面的口诀：

首先提取公因式，然后考虑用公式；

十字相乘试一试，分组分得要合适；

四种方法反复试，最后须是连乘式。

十字相乘法解题实例：

1)、

用十字相乘法解一些简单常见的题目

例1把m²+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题

解：因为

1

-2

1

╳

6

所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）

例2把5x²+6x-8分解因式

分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题

解：

因为

1

2

5

╳

-4

所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）

例3解方程x²-8x+15=0

分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

解：

因为

1

-3

1

╳

-5

所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0

所以x1=3

x2=5

例4、解方程

6x²-5x-25=0

分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。

解：

因为

2

-5

3

╳

5

所以

原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0

所以

x1=5/2

x2=-5/3

2)、用十字相乘法解一些比较难的题目

例5把14x²-67xy+18y²分解因式

分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7,

18y²可分为y.18y

,

2y.9y

,

3y.6y

解:

因为

2

-9y

7

╳

-2y

所以

14x²-67xy+18y²=

(2x-9y)(7x-2y)

例6

把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式

分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3

=10x²-（27y+1）x

-（28y²-25y+3）

4y

-3

7y

╳

-1

=10x²-（27y+1）x

-（4y-3）（7y

-1）

=[2x

-（7y

-1）][5x

+（4y

-3）]

2

-（7y

–

1）

5

╳

4y

-

3

=（2x

-7y

+1）（5x

+4y

-3）

说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y

-1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x

-（4y-3）（7y

-1）分解为[2x

-（7y

-1）][5x

+（4y

-3）]

解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3

=（2x

-7y）（5x

+4y）-（x

-25y）-

3

2

-7y

=[（2x

-7y）+1]

[（5x

-4y）-3]

5

╳

4y

=（2x

-7y+1）（5x

-4y

-3）

2

x

-7y

1

5

x

-

4y

╳

-3

说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x

-7y）（5x

+4y）,再把（2x

-7y）（5x

+4y）-（x

-25y）-

3用十字相乘法分解为[（2x

-7y）+1]

[（5x

-4y）-3].

例7：解关于x方程：x²-

3ax

+

2a²–ab

-b²=0

分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解

解：x²-

3ax

+

2a²–ab

-b²=0

x²-

3ax

+（2a²–ab

-

b²）=0

x²-

3ax

+（2a+b）（a-b）=0

1

-b

2

╳

+b

[x-（2a+b）][

x-（a-b）]=0

1

-（2a+b）

1

╳

-（a-b）

所以

x1=2a+b

x2=a-b

十字相乘法——借助画十字交叉线分解系数,从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法,它是先将二次三项式 的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法） 

然后按斜线交叉相乘、再相加,若有 ,则有 ,否则,需交换 的位置再试,若仍不行,再换另一组,用同样的方法试验,直到找到合适的为止.

在我们做因式分解题时,可以参照下面的口诀：

首先提取公因式,然后考虑用公式； 

十字相乘试一试,分组分得要合适； 

四种方法反复试,最后须是连乘式.

十字相乘法解题实例：

1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目 

例1把m²+4m-12分解因式 

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1当-12分成-2×6时,才符合本题 

因为 1 -2 

1 ╳ 6 

所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 

例2把5x²+6x-8分解因式 

分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1.当二次项系数分为1×5,常数项分为-4×2时,才符合本题 

因为 1 2 

5 ╳ -4 

所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4） 

例3解方程x²-8x+15=0 

分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5.

因为 1 -3 

1 ╳ -5 

所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 

所以x1=3 x2=5 

例4、解方程 6x²-5x-25=0 

分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1.

因为 2 -5 

3 ╳ 5 

所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 

所以 x1=5/2 x2=-5/3 

2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 

例5把14x²-67xy+18y²分解因式 

分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7,18y²可分为y.18y ,2y.9y ,3y.6y 

因为 2 -9y 

7 ╳ -2y 

所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)

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