垂径定理

垂径定理是数学平面几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如概述图，直径DC垂直于弦AB，则AE等于EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD等于半圆CBD。

定理定义如下：

1、平分弦所对的优弧。

2、平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）。

3、平分弦。

4、垂直于弦。

5、过圆心（或是直径）。

推导定理

原本命题，其中CD垂直于直线AB

推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

几何语言：∵DC是直径，AE=EB

∴直径DC垂直于弦AB，劣弧AD=劣弧BD，弧AC=弧BC

推论二：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

几何语言：∵AE=BE，弧AD=弧BD

∴CD垂直平分AB，弧AC=弧BC

推论三：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

(证明时的理论依据就是上面的五条定理)

但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

在5个条件中:

1.平分弦所对的一条弧

2.平分弦所对的另一条弧

3.平分弦

4.垂直于弦

5.经过圆心(或者说直径)

只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论

椭圆的“垂径定理：已知不过原点O的直线与椭圆x2a2+y2b2=1交于A、B两点，M为弦AB的中点，则直线AB与直线OM的斜率之积：

已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径．对于椭圆也有类似的性质。圆可以看作椭圆的一个特例，即当短半轴b无限趋近于长半轴a时，椭圆近似可看作圆。

注一 当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；

注二    这里并不要求a>b，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；

注三    双曲线x2a2−y2b2=1的垂径定理中的斜率之积：

圆的垂径定理证明过程如下：

设在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，求证：CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。

证明：

连接OC、OD。

则OC=OD（⊙O的半径）。

∵ AB⊥CD，

∴CE=DE，∠COE=∠DOE（等腰三角形三线合一）。

∴弧BC=弧BD（等角对等弧），∠AOE=∠AOD（等角的补角相等）。

∴弧AC=弧AD。

---