如何证明面面垂直？

定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。

定理

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

几何描述:若a⊥β，a⊂α，则α⊥β

证明:任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β

∵a⊂α，P∈a

∴P∈α

即α和β有公共点P，因此α与β相交。

设α∩β=b，∵P是α和β的公共点

∴P∈b

过P在β内作c⊥b

∵b⊂β，a⊥β

∴a⊥b，垂足为P

又c⊥b，垂足为P

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角

∵c⊂β

∴a⊥c，即∠aPc=90°

根据面面垂直的定义，α⊥β

推论1

如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。

已知α⊥a，a∥β，求证α⊥β

证明:过a任意作一个平面γ与β相交，设交线为c

∵a∥β

∴a∥c(线面平行的性质定理)

∵a⊥α

∴c⊥α(线面垂直的性质定理)

∵c⊂β

∴β⊥α(定理1)

推论2

如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。(可理解为法向量垂直的平面互相垂直)

证明:设有a⊥α，b⊥β，且a⊥b

则根据线面平行的判定定理，有a∥β

∵a⊥α

∴α⊥β(推论1)

这些定理和推论都是向量法解题的基础，例如向量法解得一个平面的法向量与另一个平面平行，那么这两个平面就垂直。

三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

已知:α⊥β，β⊥γ，γ⊥α，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c

求证:a⊥b，a⊥c，b⊥c

证明:∵α∩β=a，α⊥γ，β⊥γ

∴a⊥γ(定理3)

∵b⊂γ，c⊂γ

∴a⊥b，a⊥c

同理可证b⊥c

1、证明面面垂直四个方法。

2、证明面面垂直有几种方法。

3、面面垂直的证明方法总结。

4、怎么证明两面垂直。

1.证明面面垂直四个方法是利用定义证明、利用面面垂直的判定定理证明、判定定理法、向量定理，若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。

2.平面角由射线、点、射线构成，是从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形。

3.平面角的大小定义为以两射线交点为圆心的圆被射线所截的弧长和半径之比。

面面垂直证明的基本方法有：定义法、判定定理 法、面面平行法。

其实到大学里面就有很多的方法：假如我们要证明平面α垂直平面β

传统方法主要是把证明面面垂直转化成证明线面垂直，再把证明线面垂直证明转化成线线垂直

即要证平面α垂直平面β

证明在平面α中有一条直线垂直平面β即可，

而直线要与平面垂直，只要垂直平面中的两条相交直线即可

所以就是在α平面内找一条直线垂直β内两条相交直线就行了

证明直线垂直的方法大部分都是初中学过的。

如果是异面直线垂直的话，可以线证明其中一条直线垂直另一条直线所在的平面，在得到线线垂直

除此之外，还有向量的方法，证明两个平面的法向量互相垂直，不过用向量证明垂直有点大材小用了，而且计算比较烦，一般不会用，除非确实难，在求二面角的时候向量用的比较多.

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