什么是对偶问题

对偶问题是实质相同但从不同角度提出不同提法的一对问题。对偶现象是许多管理与工程实际中存在的一种普遍现象。例如，企业怎样充分利用现有人力、物力去完成更多的任务和怎样用最少的人力、物力消耗去完成给定的任务，就是互为对偶的一对问题。对偶理论是从数量关系上研究这些对偶问题的性质、关系及其应用的理论和方法。每一个线性规划问题，都存在一个与之相联系的对偶问题。

线性规划模型的对偶性，对线性规划模型理论、求解有着很重要的意义。特别在应用上，线性规划对偶问题的最优解，就是资源的影子价格 (见“影子价格”)，它对于线性规划模型的经济分析，用于对经济管理工作的指导起了极为重要的作用。

扩展资料：

例子

小明同学拥有一家工厂，他现在有2种获利途径：

1 自己经营，卖出产品获得利润；

2 出租给他人，收取租金获得利润。

那么对于途径1，小明同学想要在有限的生产资源约束下，最大化自身的利润。这就是原问题。

对于途径2，小明同学作为工厂的拥有者，他所能接受的最低租金不能小于他自己经营时能获得的最大利润，否则他何必多此一举呢？

那么，从租借工厂的小红同学的角度来看，她肯定希望租金最少越好。那么，小红同学需要支付的租金的下界（最小化问题的最小值），就是小明同学自身经营获利的上界（最大化问题的最大值）。这就是一对对偶问题。

任意一个LP问题，都存在一个唯一的对偶问题，且二者互为对偶。

事实上，原问题和对偶问题如同一个硬币的两面，是从一个问题的两个侧面分角度进行研究，它们最终优化的本质通常是一样的。

参考资料：

看看是不是

线性规划中的对偶问题

线性规划有一个有趣的特性，就是任何一个求极大的问题都有一个与其匹配的求极小的线性规划问题。

例；原问题为

MAX

X=8Z1+10Z2+2Z3

st

2Z1+1Z2+3Z3

〈=70

4Z1+2Z2+2Z3

〈=80

3Z1+

1Z3

〈=15

2Z1+2Z2

〈=50

Z1，Z2，Z3

〉=0

Z则其对偶问题为

MIN

=70Y1+80Y2+15Y3+50Y4

st

2y1+4y2+3y3+2y4>=8

1y1+1y2+

1y4>=10

3y1+2y2+1y3

>=2

y1,y2,y3,y3>=0

可以看出：1、若一个模型为目标求

极大

约束为

小于等于的不等式，则它的对偶模型为目标求极小

约束为极大的不等式

即

“MAX，〈=”

“与MIN，〉=”相对应

2、从约束条件系数矩阵来看，一个模型中为A

另一个为A的转质，一个模型是

m个约束n个变量

则他的对偶模型为n个约束

m个变量

3、从数据b

c

的位置看

两个规划模型中b和

c的位置对换

即8、10、2

与

70、80、15、50

对换

4、两个规划模型中变量非负。

是否满意？？

原问题和对偶问题解的关系是：对偶（min型）变量的最优解等于原问题松弛变量检验数的绝对值；对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对应变量的检验数的绝对值；原问题和对偶问题是相互对偶的。

原问题，又称原线性规划问题，是指每一个线性规划的原始问题，每个原问题均可以转化为与其对称的对偶问题。而在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个线性规划问题（称为原始问题）都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。对偶理论是研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论。

不管原问题是否标准，在最优解的单纯型表中，都有原问题虚变量（松弛或剩余）的检验数对应其对偶问题实变量（对偶变量）的最优解，原问题实变量（决策变量）的检验数对应其对偶问题虚变量（松弛或剩余变量）的最优解。

最优解带入原问题的第四个约束条件为严格不等式，为松约束，所以对应的对偶变量y4=0；原问题的变量大于0，则该变量对应的对偶约束必为紧约束，也就是严格等式，最优条件里面前三个都是大于0的，所以对应的对偶变量前三条必能取等式，第四个最优值是0，第四条对应对偶变量不能判断是否取等，所以忽略掉。

以上就是关于什么是对偶问题全部的内容，包括:什么是对偶问题、如何理解对偶问题、原问题和对偶问题的关系口诀等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！