海明码是一种用于错误检测与纠正的编码技术,它可以检测并且修正数据传输中因噪声等因素引入的少量错误,广泛应用于数字通信、磁盘存储等领域。
在海明码中,二进制数据被划分为不同的位数,并且每个位数都被分配一个位置。一个基本的海明码通常由数据位和检验位组成,其中数据位对应着原始数据,而检验位则是通过某种校验规则计算而来的。
在根据海明码进行数据纠错时,需要先将接收到的数据重新计算一遍校验位,然后比对它与发送者发送的校验位是否一致。如果发现存在错误,则可以根据不同的情况确定错误的位置。如果只有一个数据位错误,那么可以通过检验位计算得到x1的位置,从而修正错误。如果多个数据位错误,也可以通过检验位计算得到错误的位置。
效验位的计算:
用例子说话最容易理解。假设信息为8位:1 1 0 0 1 1 0 0 ,则编码后为:
码位:m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12
码字:P1 P2 1 P3 1 0 0 P4 1 1 0 0
监督关系为(用S表示,+表示逻辑加):
S1=m1 + m3 + m5 + m7+ m9+ m11
S2=m2 + m3 + m6 + m7+ m10+ m11
S3=m4 + m5 + m6 + m7+ m12
S4=m8 + m9 + m10 + m11+ m12
当信息没有错误时,S1=S2=S3=S4=0,代入数据,有
0=P1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0
0=P2 + 1+ 0+ 0+ 1+ 0
0=P3 + 1+ 0+ 0+ 0
0=P4 + 1+ 1+ 0+ 0
很容易计算出:P1=1,P2=0,P3=1,P4=0
所以海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
用奇校验来确定其对应的汉明码为10100011101。
欲传送的二进制代码为1001101,有效信息位数为n=7位,则汉明校验的校验位为k位,则:2^k >=n+k+1,k=4,进行奇校验设校验位为C1C2C3C4,汉明码为C1C2B7C3B6B5B4C4B3B2B1,
C1=1⊕B7⊕B6⊕B4⊕B3⊕B1=1⊕1⊕0⊕1⊕1⊕1=1
C2=1⊕B7⊕B5⊕B4⊕B2⊕B1=1⊕1⊕0⊕1⊕0⊕1=0
C3=1⊕B6⊕B5⊕B4=1⊕0⊕0⊕1=0
C4=1⊕B3⊕B2⊕B1=1⊕1⊕0⊕1=1
故传送的汉明码为10100011101。
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