正交试验设计

正交试验设计是获得最佳搭配的方法之一它是通过三个步骤完成的:1,利用正交表来安排试验；2,对试验的结果进行综合比较；3,获得最佳搭配方案4,分析影响结果的因素的主次。

正交试验设计表的设计原则是均衡分散搭配,分析试验结果,其原则为综合比较,即在同因素中将相同水平的结果相加,找出每个因素中的最好水平,得到最佳搭配。

分析影响结果的因素的主次将同因素中的两个水平的结果做差,一般来说差的大小是不同的,差的大小实际上反应了该因素的变化对产量的影响的大小差大说明该因素水平的变化对试验的结果影响大,差小说明该因素的变化对试验结果没太多影响因此,可以通过差的大小来确定因素对试验结果影响的主次,找出影响试验的主要因素

在对一个因子试验所建立的线性模型中,独立参数(总均值,主效应,交互效应等)的个数k与试验次数n之间有下面的关系:当n>k时,有足够的自由度k来估计参数,同时还有剩余自由度来估计误差的方差(n-k>0);当n=k时,有足够的自由度来估计参数,但是没有剩余自由度来估计误差的方差n-k=0;当nk)在双因子有重复试验中,试验次数大于交互效应模型中独立参数的总数,因此有剩余的自由度来估计误差方差;而在双因子无重复试验中,试验次数等于交互效应模型中独立参数的总数,因此没有剩余自由度来估计误差方差此时,要估计误差就只能用可加效应模型

根据上述的思路,只要试验总次数$N$大于独立参数的个数$M$就可以有足够的自由度来估计参数,同时还有剩余的自由度来估计误差方差,进而作假设检验这是因子试验设计中要考虑的第一件事第二件事是要使参数估计和检验统计量有好的性质和形式,关键是要使各组效应的参数估计之间相互独立,同时使相应的平方和之间相互独立但是,在一个线性模型中,参数(主效应及各种交互效应)的数目是由实际问题本身决定的,而不是由人主观决定的在大量的因子试验的实践中,人们发现:在很多情况下,因子之间只有主效应,至多存在某些一阶交互效应(即两因子的交互效应)高阶交互效应在很多情况下是不存在的在这种情况下,多因子试验的模型中包含的参数实际上并不多,可能远远少于全模型的参数比如有6个二水平因子,如果考虑所有可能的交互作用就有26=64个独立参数(包括总均值),但是如果只考虑主效应则只有61=7个独立参数因此对6个二水平因子的可加效应模型,理论上只需作8次试验就可以有多余的自由度来估计误差方差

如何使得上述的两个想法很好地实现从双因子无重复试验的可加模型的分析中可以得到如何安排试验的启示在这个模型中,由于两个因子的所有水平组合都作了相同次试验(一次),因此两组因子主效应的参数估计不仅有简单的形式,而且还是相互独立的,因而平方和之间也是相互独立的因此,对于多因子试验的无交互效应模型(只考虑主效应),如果我们能如此安排试验,使得对任何一对因子,它们的所有水平组合都作了相同次试验,则对任何一对因子,两组因子主效应的参数估计和平方和也应具有上述性质进而,如果试验的总次数n超过参数的总个数k,则还有多余的自由度来估计误差,进行方差分析实际上,这就是"正交因子设计"原理的基本思路

假定因子对响应变量的影响无交互效应(许多实际情况正是这样),正交试验的优点是在很少的试验次数(与全面试验相比)中,所得数据可以简便而有效地对因子效应进行参数估计和方差分析其方法可一般地归纳如下:

1)总均值的估计=试验数据的总平均值，2)某因子的某个主效应的估计=该因子的该主效应所出现的试验数据的平均值-总平均值，3)总平方和=(试验数据-总平均值)的平方和,自由度=n-1，4)某因子的主效应平方和=重复数×参数估计的平方和,自由度=水平数-1，5)残差平方和=总平方和-(因子效应平方和的和),自由度=总平方和-(因子效应自由度的和)

正交试验设计，是指研究多因素多水平的一种试验设计方法。根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备均匀分散，齐整可比的特点。正交试验设计是分式析因设计的主要方法。当试验涉及的因素在3个或3个以上，而且因素间可能有交互作用时，试验工作量就会变得很大，甚至难以实施。针对这个困扰，正交试验设计无疑是一种更好的选择。正交试验设计的主要工具是正交表，试验者可根据试验的因素数、因素的水平数以及是否具有交互作用等需求查找相应的正交表，再依托正交表的正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，可以实现以最少的试验次数达到与大量全面试验等效的结果，因此应用正交表设计试验是一种高效、快速而经济的多因素试验设计方法。

正交实验设计的基本步骤

(1)明确实验目的，确定评价指标

(2)挑选因素，确定水平

(3)选正交表，进行表头设计

(4)明确实验方案，进行实验，得到结果

(5)对实验结果进行统计分析

(6)进行验证实验，作进一步分析

正交是利用最少的实验程序来完成大批量的实验，使那些复杂的问题简单化，通过对正交实验结果及所研究的对象关系利用数学原理来分析实验结果和优化实验方案。例如，L3,4就是三水平四因素的一个正交水平实验方案，四个研究对象三个梯度水平的实验，用正交的方法只需做九组实验，就可以来研究按传统方法所需的81组实验的工作量所得出的结果。通过方差分析，平均值，极值，极差等数学方法来表现结果，寻求最佳的实验水平梯度和研究对象。现在用正交得出的实验数据可以用正交设计助手来分析实验数据，更加方便。

单因素做完后选择应该在对实验结果有起伏的范围之内即可，确定的是因素。

当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。

因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。

例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行3^3=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3^4)正交表安排实验，只需作9次，按L15(3^7)正交表进行15次实验，显然大大减少了工作量。

扩展资料：

正交表的性质

(1)每列中不同数字出现的次数是相等的，如L9(3^4)，每列中不同的数字是1，2，3，它们各出现3次；

(2)在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等的，如L9(3^4)，有序数对共有9个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，它们各出现一次。

由于正交表有这两条性质，用它来安排试验时，各因素的各种水平的搭配是均衡的。

参考资料来源：百度百科-单因素实验

参考资料来源：百度百科-正交试验

正交试验设计是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分析因式设计的主要方法。 是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。

先列因素水平表：

水平       因素A        因素B      因素C         因素D

1

2

3

再列正交结果表：

实验序号         因素A                      因素B                   因素C                   因素D              结果

1                              1                              1                          1                           1

2                              1                              2                          2                           2

3                              1                              3                          3                           3  

4                              2                              1                          2                           3

5                              2                              2                          3                           1

6                              2                              3                          1                           2

7                              3                              1                          3                           2

8                              3                              2                          1                           3

9                              3                              3                          2                           1  

K1                   123结果相加       147结果相加     168结果相加     159结果相加

K2                   456结果相加       258结果相加         249结果相加     267结果相加

K3                   789结果相加       369结果相加     357结果相加     348结果相加

因素A下K最大减K最小 因素B下K最大减K最小 因素C下K最大减K最小  因素D下K最大减K最小

简单的来说，K1值就是在每个因素下对应水平为1的实验结果的和，K2就是在每个因素下对应水平为2的实验结果的和，R就是每个因素下K的最大值减最小值。

正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本思想。

[例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围：

A：80-90℃

B：90-150分钟

C：5-7%

试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。

这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：

A：A1=80℃，A2=85℃，A3=90℃

B：B1=90分，B2=120分，B3=150分

C：C1=5%，C2=6%，C3=7%

当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。

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