关于 扩展欧几里得算法的问题

是的。

t|k是ax+by=k有整数解的充分必要条件。

k的正负当然没有关系，比如说ax+by=k有整数解(x0,y0)，那么a(-x0)+b(-y0)=-k，所以k改变符号仍有整数解。

可以使用扩展欧几里得算法来求解这个问题。首先，我们需要计算出253和449的最大公约数，即(253,449)。使用欧几里得算法可以得到：

因此，(253,449)=1。接下来，我们可以使用扩展欧几里得算法来计算s和t。该算法可以求得两个数的最大公约数和其对应的系数s和t，满足以下方程式：

(253, 449) = 1 = 253s + 449t

从最后一行开始，计算出t和s：

因此，整数s=35，t=-27，满足253s+449t=(253,449)=1。

Q X1 X2 X3 Y1 Y2 Y31 0 4321 0 1 12343 0 1 1234 1 -3 6191 1 -3 619 -1 4 6151 -1 4 615 2 -7 4153 2 -7 4 -307 1075 31 -307 1075 2 309 -1082 14321-1082=3239

欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

欧几里得算法和扩展欧几里得算法可使用多种编程语言实现。

用什么编程软件都可以编程只要明白了剩余定理的原理,再针对问题,选择自己擅长的编程语言就可以了

中国剩余定理一般指孙子定理:孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

除以3余2和除以7余2的数可以写成21n+2。

21n+2除以5余3，要求21n除以5余1。

21n除以5余1，21除以5余1，要求n除以5余1（乘数之余等于余数之乘），则n最小取1。

所以满足“除以3余2，除以5余3，除以7余2”的最小的数是21×1+2=23。

标准解法：先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70 ( 注释:此步又称为求"模逆"运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得当然,对于很小的数,可以直接死算 )。即

15÷7=2……余1，

21÷5=4……余1，

70÷3=23……余1

再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数被7、5、3除所得的余数的积连加，

15×2+21×3+70×2=233 (将233处用i代替，用程序可以求出)

最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数

233÷105=2……余23，

这个余数23就是合乎条件的最小数

针对这个问题,用计算机来解决,可以用最简单的穷举法,下面上C语言代码

int main()

{  

    int a=3,b=5,c=7;  

    int i=7,flag=1;

    while(flag)

        {    

         i++;

        if(i%7==2 && i%5==3 && i%3==2)  //满足条件即输出,并设置退出循环标志

        {

            printf("所求最小值为%d\n",i);

            flag =0;

        }

    }

    return 0;

}

如果方程有整数解得话，那就有无数的解，扩展欧几里得算法只是求出其中的一个解，由方程a(x1-y2)+b(y1-x2+(a/b)y2)=0，取x1=y2; y1=x2-(a/b)y2;按照这种步骤往上递归可以得到一个解。所以这只是一个取法，而不是可以推导出。

关于扩展欧几里得可以参考：>

公式表述：

证明：

a 可以表示为 a = kb + r，r = a%b

假设 d 是 (a,b) 的一个公约数，则有

d|a，d|b，而 r = a – kb，因此 d|r

所以 d 也是 (b,a%b) 的公约数

上面的等式就称做贝祖等式。

设 a > b

证明：

设 分别是使得 的整数集合，

令 ，假设此时

则有

假设 除以 的商为 ，余数为

则有

但是因为其中 ，所以必须有

否则 与假设 矛盾

故 ，同理可得

即 为 的公约数，又 互质

所以有

即存在整数 使得 成立。

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