共轭梯度法的算法介绍

又称共轭斜量法，是解线性代数方程组和非线性方程组的一种数值方法，例如对线性代数方程组 Ax=ƒ, (1)式中A为n阶矩阵，x和ƒ为n维列向量,当A对称正定时,可以证明求(1)的解X和求二次泛函

的极小值问题是等价的。此处(x,у)表示向量x和у的内积。由此，给定了初始向量x（0），按某一方向去求(2)式取极小值的点x(1),就得到下一个迭代值x(2),再由x(2)出发，求x(3)等等，这样来逼近x。若取求极小值的方向为F在 x(k=1,2,…)处的负梯度方向就是所谓最速下降法，然而理论和实际计算表明这个方法的收敛速度较慢，共轭梯度法则是在 x(k-1)处的梯度方向r(k-1)和这一步的修正方向p(k-1)所构成的二维平面内，寻找使F减小最快的方向作为下一步的修正方向p(k),即求极小值的方向p（其第一步仍取负梯度方向）。计算公式为

再逐次计算(k=1,2,…)。可以证明当i≠j时，

从而平p(1),p(2)形成一共轭向量组;r(0),r(1),…形成一正交向量组。后者说明若没有舍入误差的话，至多 n次迭代就可得到(1)的精确解。然而在实际计算中,一般都有舍入误差，所以r(0),r(1),…并不真正互相正交，而尣(0)尣(1),…等也只是逐步逼近(1)的真解,故一般将共轭梯度法作为迭代法来使用。

近来在解方程组(1)时,常将共轭梯度法同其他一些迭代法结合作用。特别是对病态方程组这种方法往往能收到比较显著的效果。其方法是选取一对称正定矩阵B并进行三角分解，得B=LLT。将方程组(1)化为 hу=b, (3)

此处y=lTx,b=l-1ƒ,h=l-1Al-T,而

再对(3)用共轭梯度法，计算公式为

k=0,1,2,…)适当选取B，当B很接近A时，h的条件数较之A大大减小,从而可使共轭梯度法的收敛速度大为加快，由一些迭代法的矩阵分裂A=M -N，可选取M 为这里的B，例如对称超松弛迭代(SSOR)，强隐式迭代(SIP)等,这类方法常称为广义共轭梯度法或预条件共轭梯度法，它也可用于解代数特征值问题。

fun=@(x1,x2)x1^2+x2^2+x1x2-3x1;

[x,fval]=fminunc(fun,[0 0])

这个更实用，能解决几乎所有求最小值的问题。

你的这个 执行结果是生成二维元胞数组 r_{2}=[fx1_2;fx2_2];

我猜你用这个的本意是由可做下标的r_{k}，其实循环中不用这样做做下标，只要找个中间变量循环更新一次变量值就可以了 ，帮你改好了，自己编程序要学会调试找错哦

syms x1 x2 k

f=(3/2)(x1^2)+(1/2)(x2^2)-x1x2-2x1;

A=[3 -1;-1 1];

fx1=diff(f,x1);

fx2=diff(f,x2);

fx11=subs(fx1,{x1,x2}, {-2,4});

fx21=subs(fx2,{x1,x2},{-2,4});

x_1=[-2;4];

r1=[fx11;fx21];

p1=-r1;

t1=-((r1)'p1)/((Ap1)'p1);

x_2=x_1+t1p1;

xx={x_2(1),x_2(2)};

fx12=subs(fx1,{x1,x2}, xx);

fx22=subs(fx2,{x1,x2},xx);

r2=[fx12;fx22];

%M=r_{2};

for k=2:10

while norm(r2)>=001

a1=((r2)'r2)/((r1)'r1);

p2=-(r2)+(a1)(p1);

t2=-((r2)'p2)/((Ap2)'(p2));

x_3=x_2+((t2)(p2));

xx={x_2(1),x_2(2)};

fx12=subs(fx1,{x1,x2},xx);

fx22=subs(fx2,{x1,x2},xx);

r2=[fx12;fx22];

x_2=x_3;

end

end

optx=(x_2)

t = [020711 099391 041643 -074095 -087009]';%% 方法1：直接使用MATLAB的伪逆(eye(5) + diag(-ones(4, 1), 1))\t%% 方法2：自己写最小二乘问题f = @(x)sum((x-circshift(x, -1) - t)^2);x = fsolve(f, zeros(5, 1))

matlab最优化程序包括

无约束一维极值问题 进退法 黄金分割法 斐波那契法 牛顿法基本牛顿法 全局牛顿法 割线法 抛物线法 三次插值法 可接受搜索法 Goidstein法 WolfePowell法

单纯形搜索法 Powell法 最速下降法 共轭梯度法 牛顿法 修正牛顿法 拟牛顿法 信赖域法 显式最速下降法， Rosen梯度投影法 罚函数法 外点罚函数法

内点罚函数法 混合罚函数法 乘子法 G－N法 修正G－N法 L－M法 线性规划 单纯形法 修正单纯形法 大M法 变量有界单纯形法 整数规划 割平面法 分支定界法 0-1规划 二次规划

拉格朗曰法 起作用集算法 路径跟踪法 粒子群优化算法 基本粒子群算法 带压缩因子的粒子群算法 权重改进的粒子群算法 线性递减权重法 自适应权重法 随机权重法

变学习因子的粒子群算法 同步变化的学习因子 异步变化的学习因子 二阶粒子群算法 二阶振荡粒子群算法

Rosenbrock函数

实现代码：

clc,clear all

format long g

x0=[0;0];

fun=@func;

gfun=@gfunc;

[x,val,k]=grad(fun,gfun,x0)   %最速下降法（梯度法）

目标函数

function f=func(x)

f=100(x(1)^2-x(2))^2+(1-x(1))^2;

end

梯度函数

function g=gfunc(x)

g=[400x(1)(x(1)^2-x(2))-x(2)+2(x(1)-1);-200(x(1)^2-x(2))];

end

运行结果

如有问题，可以私信于我。

用遗传算法ga()求Rosenbrock函数的结果，与用上述方法的结果相接近。

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