牛顿法解非线性方程组的MATLAB程序

Newton's method is the classic algorithm for finding roots of functions The breif introduction is written below

The analytic solution is

The code is

x    = zeros(1,2);

f    = zeros(1,2);

tol  = 1E-7;

invJ = zeros(2,2);

x(1) = 023;

x(2) = 069;

for n = 1:1:1E4

    f(1) = x(1)+854/x(2)-1;

    f(2) = x(1)-10/x(2);

    invJ(1,1) = 10/954;

    invJ(1,2) = 854/954;

    invJ(2,1) = -x(2)^2/954;

    invJ(2,2) = x(2)^2/954;

    xn  = x'-invJf';

    if (abs(x(1)-xn(1))/abs(xn(1)) < tol 

        && abs(x(2)-xn(2))/abs(xn(2)) < tol)

        fprintf('The maximum number of iterations is %d\n', n) 

        disp('The solution within tolerance 1E-7 is')

        disp(xn')

        return;

    end

    x   = xn';

end

disp('The solution did not converge to x-axis')

The generated result is

这样吧，你不要直接通过solve求解啊，可以画一个图像啊，以x的值为横坐标，行列式值为纵坐标，或者纵坐标取一下对数（如果变化范围太大），然后可以得出大致得到解的范围；最后可以通过其他方法计算更加精确的解。

希望能帮到你，我算程序就是这样实现的

用牛顿法可以求得函数f(x)=x^4-4x^3-6x^2-16x+4的最小值为-156。

牛顿法的迭代原理是  Xk+1=Xk-f(xk)/f'(xk)

基于matlab的牛顿法求解主要代码

x0=6; %初值

tol = 0001;%误差

x = newton(x0,tol);  %牛顿迭代法函数

y=fun(x);

str=['f(x)=x^4-4x^3-6x^2-16x+4的最小值 ',num2str(y)];

fprintf('%s\n',str);

str=['f(x)=x^4-4x^3-6x^2-16x+4的极值点，x=',num2str(x),'；y=',num2str(y)];

fprintf('%s\n',str);

运行结果，极值点，x=4；y=-156，最小值  -156

自定义函数内容如下

在公式（18）中，和分别表示状态变量与其修正量组成的列向量；为方阵，一般叫作雅可比矩阵，第i行j列元素为 ，它的大小为第i个函数对第j个变量求偏导；k则表示阵元素都在处取；同时，F(X)是由n个函数组成的n维列向量；在极坐标下，节点电压可如下表示：

在这里插入描述

（19）

若和为已知大小的功率，与从节点电压求得的有功和无功功率之差，为功率的不平衡量，则节点功率不平衡量可用如下公式计算：

在这里插入描述

（20）

节点功率可用各节点电压模值与相位表示，如下公式所示：

在这里插入描述

（21）

式（21）中，为节点i和j的相位差。

由以公式（18）-（21）推得牛顿法下，其潮流计算方程可写为：

在这里插入描述

（22）

公式（22）中，雅可比矩阵的各元素为

在这里插入描述

（23）

（24）

（25）

（26）

在这里插入描述

（27）

（28）

（29）

（30）

其中，节点导纳矩阵的元素由Gij 、Bij表示。

随着国内外配电系统自动化水平不断提高，电力行业人员也开始更加深入地研究配电网系统。配电网潮流计算作为DMS（配电管理系统）的重要基础，受到广大行业界人士的关注。因此，配电网潮流计算，已然成为配电网分析的重要内容。配电网与输电网相比，两者有明显不同，前者一般采用网格结构，线路参数R/X的值较大，三相负荷不对称程度明显。这些特点使得在输电网中计算有效，如牛顿法，不再适用于配电网。为此，有学者提出了适用于配电网的潮流算法，主要包括基于回路方程的潮流算法、前推回推法和改进的牛顿-拉夫逊法[17]（简称改进的牛拉法）。其中，基于回路方程的方法具有较强的网格处理能力和良好的收敛性，但该方法的节点数和分支数处理非常复杂。前推回推法是针对配电网的树状特性，可以避免潮流计算中的病态条件，同时速度更快。然而，由于其公式和算法与牛顿潮流算法不同，其在其它方面（如潮流优化）的应用将受到限制。

改进牛顿法通过对传统法进行一定的近似，将J阵写成UDUT 的形式。U仅由网络拓扑决定，是一个上三角矩阵；D是一个对角矩阵。在牛拉法中，需要对J阵因子分解与前代回代，改进法则只有前推回代的计算过程。它很好地改善了传统法以及前推回推法。经过算例计算结果证明，改进法可以避免J阵病态，且拥有前推回代法的收敛速度、精度，又由于它属于牛顿型算法，所以该算法已经得到了广泛的运用[18]。

下面附带电力系统分析牛顿法算例及matlab程序：

网络结构如下：系统结构图

系统参数如下：

在上图所示的简单电力系统中，系统中节点1、2为PQ节点，节点3为PV节点，节点4为平衡节点，已给定P1s+jQ1s=-030-j018 P2s+jQ2s=-055-j013 P3s=05 V3s=110 V4s=105∠0°

容许误差ε=10-5

节点导纳矩阵：

导纳矩阵

各节点电压：

节点 e f v ζ

10984637 -0008596 0984675 -0500172

20958690 -0108387 0964798 -6450306

31092415 0128955 1100000 6732347

41050000 0000000 1050000 0000000

各节点功率：

节点 P Q

1-0300000 -0180000

2–0550000 -0130000

3 0500000 -0551305

4 0367883 0264698

matlab程序如下：

// 牛顿法潮流计算matlab程序

clc;

Y=[1042093-8242876i -0588235+2352941i 3666667i -0453858+1891074i;

-0588235+2352941i 1069005-4727377i 0 -0480769+2403846i;

3666667i 0 -3333333i 0;

-0453858+1891074i -0480769+2403846i 0 0934627-4261590i];

%导纳矩阵

e=[1 1 11 105];%初始电压

f=zeros(4,1);

V=zeros(4,1);%节点电压

Ws=[-03 ; -018 ; -055 ; -013 ; 05 ; 11];%初始功率

W=zeros(6,1);

n=length(Y);%节点数

J=zeros(2(n-1));%雅可比矩阵

delta_v=zeros(1,6);

delta_w=Ws;

G=real(Y);

B=imag(Y);

S=zeros(4,2);

c=0;%循环次数

m=input('请输入PQ节点数：');

while max(abs(delta_w))>10^-5

for i=1:(n-1)%以下为求取雅可比矩阵

for j=1:(n-1)

if (i~=j)

J(2i-1,2j-1)=-(G(i,j)e(i)+B(i,j)f(i));

J(2i,2j)=-J(2i-1,2j-1);

J(2i-1,2j)=B(i,j)e(i)-G(i,j)f(i);

J(2i,2j-1)=J(2i-1,2j);

end

end

end

for j=1:(n-2)

J(6,2j-1)=0;

J(6,2j)=0;

end%以上为非对角线元素

s1=0;

s2=0;

for i=1:(n-1)

for j=1:n

s1=s1+(G(i,j)e(j)-B(i,j)f(j));

s2=s2+(G(i,j)f(j)+B(i,j)e(j));

end

J(2i-1,2i-1)=-s1-G(i,i) e(i)-B(i,i)f(i);

J(2i-1,2i)=-s2+B(i,i) e(i)-G(i,i)f(i);

s1=0;

s2=0;

end

for i=1:m

for j=1:n

s1=s1+G(i,j)f(j)+B(i,j)e(j);

s2=s2+(G(i,j)e(j)-B(i,j)f(j));

end

J(2i,2i-1)=s1+B(i,i) e(i)-G(i,i)f(i);

J(2i,2i)=-s2+G(i,i) e(i)+B(i,i)f(i);

s1=0;

s2=0;

end

J(6,5)=-2e(3);

J(6,6)=-2f(3);%对角线元素求解

for i=1:m

for j=1:n

s1=s1+e(i)(G(i,j)e(j)-B(i,j)f(j))+f(i)(G(i,j)f(j)+B(i,j)e(j));

s2=s2+f(i)(G(i,j)e(j)-B(i,j)f(j))-e(i)(G(i,j)f(j)+B(i,j)e(j));

end

delta_w(2i-1)=Ws(2i-1)-s1;

delta_w(2i)=Ws(2i)-s2;

W(2i-1)=s1;

W(2i)=s2;

s1=0;

s2=0;

end

for j=1:n

s1=s1+e(3)(G(3,j)e(j)-B(3,j)f(j))+f(3)(G(3,j)f(j)+B(3,j)e(j));

end

delta_w(5)=Ws(5)-s1;

delta_w(6)=(Ws(6)^2-(e(3)^2+f(3)^2));

W(5)=s1;

W(6)=sqrt(e(3)^2+f(3)^2);%以上求功率差值

delta_v=-inv(J)delta_w;

for i=1:(n-1)

e(i)=e(i)+delta_v(2i-1);

f(i)=f(i)+delta_v(2i);

end%求电压差值

c=c+1;

end

for x=1:4

V(x)=e(x)+f(x)1i;

end%节点电压

s1=0;

for x=3:4

for j=1:4

s1=s1+conj(Y(x,j))conj(V(j));

end

S(x,1)=real(V(x)s1);

S(x,2)=imag(V(x)s1);

s1=0;

end%PV与平衡节点功率

for x=1:2

S(x,1)=W(2x-1);

S(x,2)=W(2x);

end%节点功率

c

J

V

S

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

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1

2

3

4

5

6

7

8

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运行结果如下：

潮流计算结果

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牛顿-拉夫逊法潮流计算matlab程序,牛顿—拉夫逊法潮流计算MATLAB程序doc

！！！！！！！！！！！！########################牛顿—拉夫逊法潮流计算程序By Yuluo%牛顿--拉夫逊法进行潮流计算n=input('请输入节点数：n=');n1=input('请输入支路数：n1=');isb=input('请输入平衡母线节点号：isb=');pr=input('请输入误差精度：pr=');B1=input('请输入由支路参数形成的矩阵：B1=');B

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此外，由于天然气在管道内传输时会产生压力损耗，所以每隔一段都要设置压缩机来提升节点压力，保证天然气系统的正常运行。（3）如果节点中存在压缩机，则可以求得压缩机消耗的等效天然气流量，将其作为一个负荷加入到潮流计算中；管道或者节点的约束，例如流量、节点压力、压缩机消耗电能和压缩比等，如下面四式所示。（2）根据天然气节点压力与节点间流量的关系式求出前一个节点的节点压力；（1）由用户负荷求得微型燃气轮机的功率