「聚类分析」16聚类分析之KMeans算法与K中心点算法

1聚类

    聚类属于无监督式学习。在无监督式学习中，训练样本的标记信息是未知的，算法通过对 无标记样本 的学习来揭示蕴含于数据中的性质和规律。聚类算法的任务是根据数据特征将数据集相似的数据划分到同一簇。

2聚类分析

    聚类分析是将物理的或者抽象的数据集合划分为多个类别的过程，聚类之后的每个类别中任意两个数据样本之间具有较高的相似度，而不同类别的数据样本之间具有较低的相似度。

3聚类算法常用分类

①划分聚类方法

②层次聚类方法

③基于密度的聚类方法

④基于网格的聚类方法

4聚类分析中相似度的计算方法

（1）连续型属性的相似度计算方法：欧式距离

（2）二值离散型属性的相似度计算方法

数据样本的二值离散型属性的取值情况：

（3）多值离散型属性的相似度计算方法：多值离散型属性转化为二值离散型属性  

（4）混合类型属性的相似度计算方法

    将属性按照类型分组，每个新的数据集中只包含一种类型的属性，然后对每个数据集进行单独的聚类分析，随后把混合类型的属性放在一起处理，进行一次聚类分析。

5KMeans算法（划分法）

    KMeans也称为K均值，是一种聚类算法。它可以根据数据特征将数据集分成K个不同的簇，簇的个数K是由用户指定的。KMeans算法基于 距离 来度量实例间的相似程度（与KNN算法一样，大多数问题采用欧氏距离），然后把较为相似的实例划分到同一簇。

（1）聚类的性能度量大致有以下两类：

①外部指标：将聚类结果与某个“参考模型”进行比较。

②内部指标：直接考察聚类结果而不利于参考模型。

（2）聚类算法的过程：

①随机选择k个点作为聚类中心；

②计算各个点到这k个点的距离；

③将对应的点聚到与它最近的这个聚类中心；

④重新计算聚类中心；

⑤比较当前聚类中心与前一次聚类中心，如果是同一个点，得到聚类结果，如果不是，则重复②③④⑤。

（3）聚类算法的实现：

注 模型效果评估指标说明：

1）inertias_：是K-Means模型对象的属性，它作为没有真实分类结果标签下的非监督式评估指标。表示样本到最近的聚类中心的距离总和。 值越小越好，越小表示样本在类间的分布越集中。

2）兰德指数（Rand index）:需要给定实际类别信息C，假设n是聚类结果，a表示在C与K中都是同类别的元素对数，b表示在C与K中都是不同类别的元素对数，则兰德指数为：

RI取值范围为[0,1]， 值越大意味着聚类结果与真实情况越吻合。

对于随机结果，RI并不能保证分数接近零。为了实现“在聚类结果随机产生的情况下，指标应该接近零”，调整兰德系数（Adjusted rand index）被提出，它具有更高的区分度：

ARI取值范围为[−1,1]， 值越大意味着聚类结果与真实情况越吻合。 从广义的角度来讲，ARI衡量的是两个数据分布的吻合程度。

3）同质化得分（Homogeneity）：如果所有的聚类都只包含属于单个类的成员的数据点，则聚类结果满足同质性。取值范围[0,1]， 值越大意味着聚类结果与真实情况越符合。

4）完整性得分（Complenteness）：如果作为给定类的成员的所有数据点是相同集群的元素，则聚类结果满足完整性。取值范围[0,1]， 值越大意味着聚类结果与真实情况越符合。

5）v_meansure_score：同质化和完整性之间的谐波平均值，v=2（同质化完整性）/（同质化+完整性），取值范围[0,1]， 值越大意味着聚类结果与真实情况越符合。

6k中心点算法

（1）原理

①随机选取k个中心点；

②遍历所有数据，将每个数据划分到最近的中心点中；

③计算每个聚类的平均值，并作为新的中心点；

④重复②③，直到这k个中线点不再变化（收敛了），或执行了足够多的迭代。

（2）与KMeans算法对比

    K-中心点聚类的 基本思想 和K-Means的思想相同，实质上是对K-means算法的优化和改进。在K-means中， 异常数据对其的算法过程会有较大的影响 。在K-means算法执行过程中，可以通过随机的方式选择初始质心，也只有初始时通过随机方式产生的质心才是实际需要聚簇集合的中心点，而后面通过不断迭代产生的新的质心很可能并不是在聚簇中的点。如果某些异常点距离质心相对较大时，很可能导致重新计算得到的质心偏离了聚簇的真实中心。

x = [1,6,9,13,2,8,7,4,11,5,3,10,12];

numGroups = 4; % 组的数目

xMax = max(x);

xMin = min(x);

boundries = xMin + (0:numGroups) (xMax - xMin) / (numGroups - 1); % 组的边界

xGroup = zeros(size(x)); % 初始化

for group = 1:numGroups

loc = (x >= boundries(group)) & (x <= boundries(group + 1)); %在这个组的书的坐标

xGroup(loc) = group;

end

结果存在xGroup里

补充：

如果要按照你的那样输出，可以改成这样：

x = [1,6,9,13,2,8,7,4,11,5,3,10,12];

GroupName = ['A','B','C','D'];

numGroups = length(GroupName); % 组的数目

xMax = max(x);

xMin = min(x);

boundries = xMin + (0:numGroups) (xMax - xMin) / (numGroups - 1); % 组的边界

xGroup = zeros(size(x)); % 初始化

for group = 1:numGroups

loc = (x >= boundries(group)) & (x <= boundries(group + 1)); %在这个组的书的坐标

xGroup(loc) = group;

end

xGroupName = GroupName(xGroup);

for ii = 1:length(x)

fprintf('%d : %s\n', x(ii), xGroupName(ii));

end

由于具有出色的速度和良好的可扩展性，Kmeans聚类算法算得上是最著名的聚类方法。Kmeans算法是一个重复移动类中心点的过程，把类的中心点，也称重心(centroids)，移动到其包含成员的平均位置，然后重新划分其内部成员。k是算法计算出的超参数，表示类的数量；Kmeans可以自动分配样本到不同的类，但是不能决定究竟要分几个类。k必须是一个比训练集样本数小的正整数。有时，类的数量是由问题内容指定的。例如，一个鞋厂有三种新款式，它想知道每种新款式都有哪些潜在客户，于是它调研客户，然后从数据里找出三类。也有一些问题没有指定聚类的数量，最优的聚类数量是不确定的。后面我将会详细介绍一些方法来估计最优聚类数量。

Kmeans的参数是类的重心位置和其内部观测值的位置。与广义线性模型和决策树类似，Kmeans参数的最优解也是以成本函数最小化为目标。Kmeans成本函数公式如下：

μiμi是第kk个类的重心位置。成本函数是各个类畸变程度(distortions)之和。每个类的畸变程度等于该类重心与其内部成员位置距离的平方和。若类内部的成员彼此间越紧凑则类的畸变程度越小，反之，若类内部的成员彼此间越分散则类的畸变程度越大。求解成本函数最小化的参数就是一个重复配置每个类包含的观测值，并不断移动类重心的过程。首先，类的重心是随机确定的位置。实际上，重心位置等于随机选择的观测值的位置。每次迭代的时候，Kmeans会把观测值分配到离它们最近的类，然后把重心移动到该类全部成员位置的平均值那里。

21 根据问题内容确定

这种方法就不多讲了，文章开篇就举了一个例子。

22 肘部法则

如果问题中没有指定kk的值，可以通过肘部法则这一技术来估计聚类数量。肘部法则会把不同kk值的成本函数值画出来。随着kk值的增大，平均畸变程度会减小；每个类包含的样本数会减少，于是样本离其重心会更近。但是，随着kk值继续增大，平均畸变程度的改善效果会不断减低。kk值增大过程中，畸变程度的改善效果下降幅度最大的位置对应的kk值就是肘部。为了让读者看的更加明白，下面让我们通过一张图用肘部法则来确定最佳的kk值。下图数据明显可分成两类：

从图中可以看出，k值从1到2时，平均畸变程度变化最大。超过2以后，平均畸变程度变化显著降低。因此最佳的k是2。

23 与层次聚类结合

经常会产生较好的聚类结果的一个有趣策略是，首先采用层次凝聚算法决定结果粗的数目，并找到一个初始聚类，然后用迭代重定位来改进该聚类。

24 稳定性方法

稳定性方法对一个数据集进行2次重采样产生2个数据子集，再用相同的聚类算法对2个数据子集进行聚类，产生2个具有kk个聚类的聚类结果，计算2个聚类结果的相似度的分布情况。2个聚类结果具有高的相似度说明kk个聚类反映了稳定的聚类结构，其相似度可以用来估计聚类个数。采用次方法试探多个kk，找到合适的k值。

25 系统演化方法

系统演化方法将一个数据集视为伪热力学系统，当数据集被划分为kk个聚类时称系统处于状态kk。系统由初始状态k=1k=1出发，经过分裂过程和合并过程，系统将演化到它的稳定平衡状态 kiki ，其所对应的聚类结构决定了最优类数 kiki 。系统演化方法能提供关于所有聚类之间的相对边界距离或可分程度，它适用于明显分离的聚类结构和轻微重叠的聚类结构。

26 使用canopy算法进行初始划分

基于Canopy Method的聚类算法将聚类过程分为两个阶段

(1) 聚类最耗费计算的地方是计算对象相似性的时候，Canopy Method在第一阶段选择简单、计算代价较低的方法计算对象相似性，将相似的对象放在一个子集中，这个子集被叫做Canopy，通过一系列计算得到若干Canopy，Canopy之间可以是重叠的，但不会存在某个对象不属于任何Canopy的情况，可以把这一阶段看做数据预处理；

(2) 在各个Canopy内使用传统的聚类方法(如Kmeans)，不属于同一Canopy的对象之间不进行相似性计算。

从这个方法起码可以看出两点好处：首先，Canopy不要太大且Canopy之间重叠的不要太多的话会大大减少后续需要计算相似性的对象的个数；其次，类似于Kmeans这样的聚类方法是需要人为指出K的值的，通过(1)得到的Canopy个数完全可以作为这个k值，一定程度上减少了选择k的盲目性。

其他方法如贝叶斯信息准则方法(BIC)可参看文献[4]。

选择适当的初始质心是基本kmeans算法的关键步骤。常见的方法是随机的选取初始中心，但是这样簇的质量常常很差。处理选取初始质心问题的一种常用技术是：多次运行，每次使用一组不同的随机初始质心，然后选取具有最小SSE(误差的平方和)的簇集。这种策略简单，但是效果可能不好，这取决于数据集和寻找的簇的个数。

第二种有效的方法是，取一个样本，并使用层次聚类技术对它聚类。从层次聚类中提取kk个簇，并用这些簇的质心作为初始质心。该方法通常很有效，但仅对下列情况有效：(1)样本相对较小，例如数百到数千(层次聚类开销较大)；(2) kk相对于样本大小较小。

第三种选择初始质心的方法，随机地选择第一个点，或取所有点的质心作为第一个点。然后，对于每个后继初始质心，选择离已经选取过的初始质心最远的点。使用这种方法，确保了选择的初始质心不仅是随机的，而且是散开的。但是，这种方法可能选中离群点。此外，求离当前初始质心集最远的点开销也非常大。为了克服这个问题，通常该方法用于点样本。由于离群点很少(多了就不是离群点了)，它们多半不会在随机样本中出现。计算量也大幅减少。

第四种方法就是上面提到的canopy算法。

常用的距离度量方法包括：欧几里得距离和余弦相似度。两者都是评定个体间差异的大小的。

欧氏距离是最常见的距离度量，而余弦相似度则是最常见的相似度度量，很多的距离度量和相似度度量都是基于这两者的变形和衍生，所以下面重点比较下两者在衡量个体差异时实现方式和应用环境上的区别。

借助三维坐标系来看下欧氏距离和余弦相似度的区别：

从图上可以看出距离度量衡量的是空间各点间的绝对距离，跟各个点所在的位置坐标(即个体特征维度的数值)直接相关；而余弦相似度衡量的是空间向量的夹角，更加的是体现在方向上的差异，而不是位置。如果保持A点的位置不变，B点朝原方向远离坐标轴原点，那么这个时候余弦相似cosθ是保持不变的，因为夹角不变，而A、B两点的距离显然在发生改变，这就是欧氏距离和余弦相似度的不同之处。

根据欧氏距离和余弦相似度各自的计算方式和衡量特征，分别适用于不同的数据分析模型：欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异，所以更多的用于需要从维度的数值大小中体现差异的分析，如使用用户行为指标分析用户价值的相似度或差异；而余弦相似度更多的是从方向上区分差异，而对绝对的数值不敏感，更多的用于使用用户对内容评分来区分用户兴趣的相似度和差异，同时修正了用户间可能存在的度量标准不统一的问题(因为余弦相似度对绝对数值不敏感)。

因为欧几里得距离度量会受指标不同单位刻度的影响，所以一般需要先进行标准化，同时距离越大，个体间差异越大；空间向量余弦夹角的相似度度量不会受指标刻度的影响，余弦值落于区间[-1,1]，值越大，差异越小。但是针对具体应用，什么情况下使用欧氏距离，什么情况下使用余弦相似度？

从几何意义上来说，n维向量空间的一条线段作为底边和原点组成的三角形，其顶角大小是不确定的。也就是说对于两条空间向量，即使两点距离一定，他们的夹角余弦值也可以随意变化。感性的认识，当两用户评分趋势一致时，但是评分值差距很大，余弦相似度倾向给出更优解。举个极端的例子，两用户只对两件商品评分，向量分别为(3,3)和(5,5)，这两位用户的认知其实是一样的，但是欧式距离给出的解显然没有余弦值合理。

我们把机器学习定义为对系统的设计和学习，通过对经验数据的学习，将任务效果的不断改善作为一个度量标准。Kmeans是一种非监督学习，没有标签和其他信息来比较聚类结果。但是，我们还是有一些指标可以评估算法的性能。我们已经介绍过类的畸变程度的度量方法。本节为将介绍另一种聚类算法效果评估方法称为轮廓系数(Silhouette Coefficient)。轮廓系数是类的密集与分散程度的评价指标。它会随着类的规模增大而增大。彼此相距很远，本身很密集的类，其轮廓系数较大，彼此集中，本身很大的类，其轮廓系数较小。轮廓系数是通过所有样本计算出来的，计算每个样本分数的均值，计算公式如下：

aa是每一个类中样本彼此距离的均值，bb是一个类中样本与其最近的那个类的所有样本的距离的均值。

输入：聚类个数k，数据集XmxnXmxn。

输出：满足方差最小标准的k个聚类。

(1) 选择k个初始中心点，例如c[0]=X[0] , … , c[k-1]=X[k-1]；

(2) 对于X[0]…X[n]，分别与c[0]…c[k-1]比较，假定与c[i]差值最少，就标记为i；

(3) 对于所有标记为i点，重新计算c[i]={ 所有标记为i的样本的每个特征的均值}；

(4) 重复(2)(3)，直到所有c[i]值的变化小于给定阈值或者达到最大迭代次数。

Kmeans的时间复杂度：O(tkmn)，空间复杂度：O((m+k)n)。其中，t为迭代次数，k为簇的数目，m为样本数，n为特征数。

71 优点

(1) 算法原理简单。需要调节的超参数就是一个k。

(2) 由具有出色的速度和良好的可扩展性。

72 缺点

(1) 在 Kmeans 算法中 kk 需要事先确定，这个 kk 值的选定有时候是比较难确定。

(2) 在 Kmeans 算法中，首先需要初始k个聚类中心，然后以此来确定一个初始划分，然后对初始划分进行优化。这个初始聚类中心的选择对聚类结果有较大的影响，一旦初始值选择的不好，可能无法得到有效的聚类结果。多设置一些不同的初值，对比最后的运算结果，一直到结果趋于稳定结束。

(3) 该算法需要不断地进行样本分类调整，不断地计算调整后的新的聚类中心，因此当数据量非常大时，算法的时间开销是非常大的。

(4) 对离群点很敏感。

(5) 从数据表示角度来说，在 Kmeans 中,我们用单个点来对 cluster 进行建模，这实际上是一种最简化的数据建模形式。这种用点来对 cluster 进行建模实际上就已经假设了各 cluster的数据是呈圆形(或者高维球形)或者方形等分布的。不能发现非凸形状的簇。但在实际生活中，很少能有这种情况。所以在 GMM 中，使用了一种更加一般的数据表示，也就是高斯分布。

(6) 从数据先验的角度来说，在 Kmeans 中,我们假设各个 cluster 的先验概率是一样的,但是各个 cluster 的数据量可能是不均匀的。举个例子,cluster A 中包含了10000个样本,cluster B 中只包含了100个。那么对于一个新的样本,在不考虑其与A cluster、 B cluster 相似度的情况,其属于 cluster A 的概率肯定是要大于 cluster B的。

(7) 在 Kmeans 中，通常采用欧氏距离来衡量样本与各个 cluster 的相似度。这种距离实际上假设了数据的各个维度对于相似度的衡量作用是一样的。但在 GMM 中，相似度的衡量使用的是后验概率 αcG(x|μc,∑c)αcG(x|μc,∑c) ，通过引入协方差矩阵,我们就可以对各维度数据的不同重要性进行建模。

(8) 在 Kmeans 中，各个样本点只属于与其相似度最高的那个 cluster ，这实际上是一种 hard clustering 。

针对Kmeans算法的缺点，很多前辈提出了一些改进的算法。例如 K-modes 算法，实现对离散数据的快速聚类，保留了Kmeans算法的效率同时将Kmeans的应用范围扩大到离散数据。还有K-Prototype算法，可以对离散与数值属性两种混合的数据进行聚类，在K-prototype中定义了一个对数值与离散属性都计算的相异性度量标准。当然还有其它的一些算法，这里我 就不一一列举了。

Kmeans 与 GMM 更像是一种 top-down 的思想，它们首先要解决的问题是，确定 cluster 数量，也就是 k 的取值。在确定了 k 后,再来进行数据的聚类。而 hierarchical clustering 则是一种 bottom-up 的形式，先有数据，然后通过不断选取最相似的数据进行聚类。

K均值聚类法分为如下几个步骤：

一、初始化聚类中心

1、根据具体问题，凭经验从样本集中选出C个比较合适的样本作为初始聚类中心。

2、用前C个样本作为初始聚类中心。

3、将全部样本随机地分成C类，计算每类的样本均值，将样本均值作为初始聚类中心。

二、初始聚类

1、按就近原则将样本归入各聚类中心所代表的类中。

2、取一样本，将其归入与其最近的聚类中心的那一类中，重新计算样本均值，更新聚类中心。然后取下一样本，重复 *** 作，直至所有样本归入相应类中。

三、判断聚类是否合理

采用误差平方和准则函数判断聚类是否合理，不合理则修改分类。循环进行判断、修改直至达到算法终止条件。

以上就是关于「聚类分析」16聚类分析之KMeans算法与K中心点算法全部的内容，包括:「聚类分析」16聚类分析之KMeans算法与K中心点算法、kmeans算法是怎样调用的，输出的是什么 我有一堆数据样本想通过kmeans法分类并用图像显示结果 那个大哥帮、Kmeans聚类算法简介等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！