网络数据统计分析笔记||网络图的数学模型

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在前面的章节中我们了解到网络图的构建，可视化，以及网络结构的特征化描述。从本章开始，我们将进入网络图建模的主题，在网络数据分析中构建与使用模型。本章主要介绍几种常见的数学模型，就像我们在学统计建模的时候，先要学习几个常见的分布模型一样。关于统计建模的一般性描述见 环境与生态统计：R语言应用 。

所谓的网络图模型是指：

其中 是所有可能的图的集合， 是 上的一个概率分布， 是参数构成的向量，该向量的所有可能取值为 。

在随机图模型（Random graphs）中，我们模仿这样的一个环境，假如一个团体中有很多的个体，之后两个人随机的认识并且成为朋友，那么随着时间的推移，这个团体会变成什么样子呢？或者说这个以人为节点，边代表好友关系的网络会是什么样子的呢？

正式地讲，随机图模型通常是指一个给定了集合 及其上的均匀概率分布 的模型。其重要作用和完备性就像统计建模中的均匀分布一样。

比较常见的随机网路模型是Erdos-Renyi model，可以通过 sample_gnp 来构建。

查看图中组件和团的情况

可以看到我们生成的随机图不是连通的，有一个 巨型组件。

经典随机网络的性质包括：平均度与期望值比较接近，度分布均匀，节点对之间最短路径上的节点相对较少等。

广义随机图模型是经典随机图模型的一般化，具体地：

在Erdos-Renyi模型之外，最常选择的特征是固定度序列。假设对于节点数为8，一半节点的度为2，另4个节点的度为3，从满足条件的图集合中均匀抽取两个。

可见两个图并非同构。

我们可以从构建一个与已知图序列相同的图：

模拟图直径减少一半，之前的聚类也减少了。

随机图模型为我们描述了在不受任何条件控制的条件下的图，可理解为数学模型的背景模型，但是现实世界里的图往往是由特定结构的。基于机制的网络图模型 把我们带入了现实世界。其中最著名的需要所小世界模型了。

小世界模型最经典的特征是既具有规则网络的高聚集性，又具有类似随机网络的小直径。相较随机图模型，小世界模型能够更好地反映真实网络的情况。就像我们人类社会一样，人以群分，六度分隔。

例如在写本笔记的时候：

媒体经常提到COVID-19呼吸道疾病的病例和死亡人数呈“指数”增长，但这些数字暗示了其他东西，一个可能具有幂律属性的“小世界”网络。这将大大不同于疾病的指数增长路径。

在介绍随机网络时提到，随机网络无法解释真实网络中存在的一些情况：局部集聚（较高的集聚系数）和三元闭合（朋友的朋友是朋友）。从网络结构来看，随机网络与真实网络的一大差异便是过低的集聚系数，所以在随机网络模型基础上进行改进时，需要要着重考虑的便是——如何在保留小网络直径这一特点的同时提高集聚系数，使得构建的模型能够对网络局部结构进行更好的刻画。

小世界的性质：

优先连接”（preferential attachment）指的是进入一个网络的新节点倾向于与节点度高的节点相连接。反过来说，一个节点如果已经接受了很多连接，那么它就越容易被新来的节点所连接。

优先连接现象最早是在1925年，由英国统计学家George Udny Yule研究的。后来科学计量之父Derek J de Solla Price在1976年也研究了这一现象，并把它叫做积累优势（cumulative advantage）。不过，描述优先连接最著名的模型是Albert-Laszlo Barabasi和Reka Albert提出的，所以也被叫做Barabási–Albert模型或BA模型。它的基本形式非常简明：一个新的节点i连接到网络里某个已有节点j的概率，就是节点j的度占全部已有节点的度之和的比重。

BA模型的节点度符合幂律分布，生成的是一个无标度网络（scale-free network）。

网络无标度性的形成有两个基本的要素：一是网络生长，也就是新的节点加入网络的过程；二是网络生长过程当中的优先连接。

ba网络的性质

如开头所言，随机网络作为网络的背景，它经常用来评估网络特征的显著性：即，待观测的网络与随机网络有多大程度的不一样？

假设我们有一个来自某种观测的图，此处称为 ，而我们对某些结构特征感兴趣，不妨称为 。在很多情况下，自然会考虑 是否是显著的，即在某种意义上是不寻常的和超预期的。这一过程很像我们的统计推断过程 统计推断概述 。

生成参考分布

而真实的我们数据的社团数是：

可以说是很显著的了。这时，你要问为什么？

评估小世界性的一种经典方法是：针对待观测网络以及可能观测到的/经过适当修饰的经典随机图，比较两者聚类系数和平均（最短）路径的长度。如果出现小世界性：

评估有向图的小世界性：

05501073 > 02548 ; 2148485 > 1858 具有一定程度的小世界性质。

>

1）在待机桌面下-点击应用程序-设定-更多网络-移动网络-网络运营商-搜索网络-选择您SIM卡支持的网络运营商　。2）建议将SIM卡取出，使用橡皮擦拭一下SIM的芯片，然后将SIM卡重新插入到手机中。3）建议更换其他SIM卡尝试。4）如果还是存在，建议把机器恢复出厂设置，事先把重要的数据比如电话本、视频、等备份一下)。5）建议固件升级尝试。

你把输入数据都注释掉了，怎么可能得到呢？

% m0 = 7;% m0 初始节点，全连接

% m = 4;% m 加一个点的同时加的边数

% N= 5000;% N 总的节点数

把前面的%都去掉。

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