正交试验设计

正交试验设计是获得最佳搭配的方法之一它是通过三个步骤完成的:1,利用正交表来安排试验；2,对试验的结果进行综合比较；3,获得最佳搭配方案4,分析影响结果的因素的主次。

正交试验设计表的设计原则是均衡分散搭配,分析试验结果,其原则为综合比较,即在同因素中将相同水平的结果相加,找出每个因素中的最好水平,得到最佳搭配。

分析影响结果的因素的主次将同因素中的两个水平的结果做差,一般来说差的大小是不同的,差的大小实际上反应了该因素的变化对产量的影响的大小差大说明该因素水平的变化对试验的结果影响大,差小说明该因素的变化对试验结果没太多影响因此,可以通过差的大小来确定因素对试验结果影响的主次,找出影响试验的主要因素

在对一个因子试验所建立的线性模型中,独立参数(总均值,主效应,交互效应等)的个数k与试验次数n之间有下面的关系:当n>k时,有足够的自由度k来估计参数,同时还有剩余自由度来估计误差的方差(n-k>0);当n=k时,有足够的自由度来估计参数,但是没有剩余自由度来估计误差的方差n-k=0;当nk)在双因子有重复试验中,试验次数大于交互效应模型中独立参数的总数,因此有剩余的自由度来估计误差方差;而在双因子无重复试验中,试验次数等于交互效应模型中独立参数的总数,因此没有剩余自由度来估计误差方差此时,要估计误差就只能用可加效应模型

根据上述的思路,只要试验总次数$N$大于独立参数的个数$M$就可以有足够的自由度来估计参数,同时还有剩余的自由度来估计误差方差,进而作假设检验这是因子试验设计中要考虑的第一件事第二件事是要使参数估计和检验统计量有好的性质和形式,关键是要使各组效应的参数估计之间相互独立,同时使相应的平方和之间相互独立但是,在一个线性模型中,参数(主效应及各种交互效应)的数目是由实际问题本身决定的,而不是由人主观决定的在大量的因子试验的实践中,人们发现:在很多情况下,因子之间只有主效应,至多存在某些一阶交互效应(即两因子的交互效应)高阶交互效应在很多情况下是不存在的在这种情况下,多因子试验的模型中包含的参数实际上并不多,可能远远少于全模型的参数比如有6个二水平因子,如果考虑所有可能的交互作用就有26=64个独立参数(包括总均值),但是如果只考虑主效应则只有61=7个独立参数因此对6个二水平因子的可加效应模型,理论上只需作8次试验就可以有多余的自由度来估计误差方差

如何使得上述的两个想法很好地实现从双因子无重复试验的可加模型的分析中可以得到如何安排试验的启示在这个模型中,由于两个因子的所有水平组合都作了相同次试验(一次),因此两组因子主效应的参数估计不仅有简单的形式,而且还是相互独立的,因而平方和之间也是相互独立的因此,对于多因子试验的无交互效应模型(只考虑主效应),如果我们能如此安排试验,使得对任何一对因子,它们的所有水平组合都作了相同次试验,则对任何一对因子,两组因子主效应的参数估计和平方和也应具有上述性质进而,如果试验的总次数n超过参数的总个数k,则还有多余的自由度来估计误差,进行方差分析实际上,这就是"正交因子设计"原理的基本思路

假定因子对响应变量的影响无交互效应(许多实际情况正是这样),正交试验的优点是在很少的试验次数(与全面试验相比)中,所得数据可以简便而有效地对因子效应进行参数估计和方差分析其方法可一般地归纳如下:

1)总均值的估计=试验数据的总平均值，2)某因子的某个主效应的估计=该因子的该主效应所出现的试验数据的平均值-总平均值，3)总平方和=(试验数据-总平均值)的平方和,自由度=n-1，4)某因子的主效应平方和=重复数×参数估计的平方和,自由度=水平数-1，5)残差平方和=总平方和-(因子效应平方和的和),自由度=总平方和-(因子效应自由度的和)

正交表的设计方法及实现过程如下：

（1） 确定 正交表的行和列。

正交表城3b共有四个因素，每个因素有3个水平，共需安排9次试验。因此，正交表以3b是一个4列、9行的表。生成正交表的表头如表下

因素1 因素2 因素3 因素4

试验一

试验二

试验三

试验四

试验五

试验六

试验七

试验八

试验九

C料程序的单元测试系统的研究与实现

（2） 确定正交表的内容

对每个因素的水平进行编号，分别为1、2、3，并将试验按照水平数3进行分组，即每三个试验为一组。

对于第一列:第一组试验中，全部使用因素1的第1个水平;第二组试验中，全部使用因素1的第2个水平;第三组试验中，全部使用因素1的第3个水平。

对于第二列:每一组试验中，都分别使用因素2的三个水平1、2、3:

对于第三列:每一项试验中，每一个水平编号的确定方法见公式31。

（3） 生成正交表。 将每个因素的水平编号填入表中可得正交表，如下

因素1 因素2 因素3 因素4

试验一 1 1 1 1

试验二 1 2 2 2

试脸三 1 3 3 3

试验四 2 1 2 3

试验五 2 2 3 1

试验六 2 3 1 2

试验七 3 1 3 2

试验八 3 2 1 3

试验九 3 3 2 1

正交实验设计方法是研究与处理多因素实验的一种科学方法。它最早产生于 20 世纪20 年代英国罗隆姆斯特农业实验站 ( 侯化国等，1985) ，后来由日本田口玄一博士在 50年代编制出正交实验表，60 年代初从日本传入中国。它依据 Galois 理论导出的正交表，从大量实验条件中挑选出适量、有代表性的条件来合理地安排实验，被称为国际标准型正交实验法。

正交表是运用组合数学理论构造的一种规格化的表格，通常有两种表达形式，一种是非交互性的正交表，另一种是交互性的正交表。下面只简单介绍第一种正交表，其通用符号可以表示为:

Ln( ji)

式中: L———正交表符号;

n———正交表的行数 ( 实验次数或实验方案数) ;

j———正交表中的数码 ( 因素的水平数或称位级数) ;

i———正交表的列数 ( 实验因素的个数) 。

举例来说，某工厂想提高某种产品的质量或产量，对工艺中 3 个主要因素各按 3 个水平进行实验 ( 表 5 1) ，以寻求最适宜的 *** 作条件。

表 5 1 3 因素与 3 水平的选择

那么，很容易想到的是全面搭配法方案，如图 5 1 所示。此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达 33= 27 次 ( 指数 3 代表3 个因素，底数 3 代表每个因素有 3 个水平) 。因素、水平数愈多，则实验次数愈多。例如，做一个 6 因素 3 水平的实验，就需 36= 729 次实验，显然在人力、物力和时间上都难以做到，而且付出的经济代价也高得多。因此，需要寻找一种合适的实验设计方法。

图 5 1 全面搭配法方案

如果采用简单比较法方案，即先固定 p1和 T1，只改变 t，观察因素 t 不同水平的影响，做了如图 5 2 ( 1) 所示的 3 次实验，发现 t = t2时的实验效果最好 ( 好的用 □ 表示) ，所得产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素 t 应取 t2水平。然后固定 p1和t2，改变 T 的 3 次实验，如图 5 2 ( 2) 所示，发现 T = T3时的实验效果最好，因此认为因素 T 应取 T3水平。最后固定 T3和 t2，改变 p 的 3 次实验，如图 5 2 ( 3) 所示，发现因素p 宜取 p2水平。

图 5 2 简单比较法方案

因此可以得出结论: 为提高所得产品的产量，最适宜的 *** 作条件为 p2、T3、t2。与全面搭配法方案相比，简单比较法方案的优点是实验次数减少，只需做 9 次实验。但必须指出，简单比较法方案的实验结果是不可靠的。因为: ①在改变 t 值 ( 或 T 值，或 p 值) 的3 次实验中，说 t2( 或 T3或 p2) 水平最好是有条件的，在 p≠p1，T≠T1时，t2水平不是最好的可能性是存在的; ②在改变 t 的 3 次实验中，固定p = p2，T = T3，应该说也是可以的，是随意的，故在此方案中数据点分布的均匀性是毫无保障的; ③用这种方法比较条件好坏时，只是对单个的实验数据进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的实验数据误差的干扰。

运用正交实验设计方法，不仅兼有上述两个方案的优点，而且实验次数少，数据点分布均匀 ( 图 5 3) ，结果的可靠性也好。正交实验设计方法是用正交表来安排实验的，对于上述实例适用的正交表是 L9( 34) ，其实验安排见表 5 2。

图 5 3 正交实验法方案

表 5 2 L9( 34) 正交实验安排

选择 L9( 34) 正交表是因为在 3 水平的正交表中，常用的有 L9( 34) 和 L27( 313)等，由于3 水平正交表中不存在3 因素3 水平的正交表，即不能完全 “对号入座”。所以，只有选用 L9( 34) 才能放下 3 因素。虽然空闲一列，但该表较之其他各表实验次数最少。我们选择此正交表共进行 9 次试验，它是从可能进行搭配的 34= 81 次实验中一次挑出来的，只要条件许可，还可以同时进行实验。

所有的正交表与 L9( 34) 正交表一样，都具有以下两个特点:

1) 在每一列中，各个不同数字出现的次数相等，即具有整齐可比性。在表 L9( 34)中，每一列有 3 个水平，水平 1、2、3 都是各出现 3 次。

2) 表中任意两列间横向组合的数字对搭配次数也是相等的，即具有均匀分散性。在表 L9( 34) 中，任意两列间横向组合在一起形成的数字对共有 9 个: ( 1，1) ， ( 1，2) ，( 1，3) ，( 2，1) ，( 2，2) ，( 2，3) ，( 3，1) ，( 3，2) ，( 3，3) ，每一个数字对各出现一次。

这两个特点称为正交性。正是由于正交表具有上述特点，保证了用正交表安排的实验方案中因素水平是均衡搭配的，数据点的分布是均匀的。因素、水平数越多，运用正交实验设计方法，越能显示出它的优越性，如上述提到的 6 因素 3 水平实验，用全面搭配方案需 729 次，若用正交表 L27( 313) 来安排，则只需做 27 次实验。

在工农业生产中，因素之间常有交互作用。当上述的因素 p 的数值和水平发生变化时，实验指标随因素 T 变化的规律也发生变化; 或反过来，因素 T 的数值和水平发生变化时，实验指标随因素 p 变化的规律也发生变化。这种情况称为因素 p、T 间有交互作用，记为 p × T，那么就要选取交互性正交表，这方面的内容此处不再赘述，需要时可以查阅相关参考书。

正交表设计时遵循以下步骤:

1) 明确实验目的，确定考核指标。

2) 挑因素，选水平，确定因素水平表。

3) 选择适宜的正交表; 原则上被选用正交表的因子数与水平数等于或大于要进行实验考察的因子数与水平数，并且使实验次数最少。

4) 因素水平上正交表，确定实验方案，并按实验方案进行实验。

5) 实验结果分析。

这个可以在spssau中完成：

比如做三因子三水平的交互正交表，

选项因子个数选择3，水平个数也是3，点击“开始分析”，搞定。

扩展资料

spssau的功能：

1、方差分析功能：方差齐性检验、单因素方差分析、双因素方差分析、三因素方差分析、多因素方差分析、协方差分析、均值比较分析和事后多重对比功能。

2、非参数功能：单样本Wilcoxon秩和检验、独立样本非参数检验(mannWhitney)、独立样本非参数检验(Kruskal-Wallis)、配对样本符号wilcoxon秩和检验、多样本Friedman检验、游程检验、Kendall协调系数、Cochran'sQ检验。

3、多元统计功能：聚类分析(Kmeans聚类)、聚类分析(K-prototype聚类)、主成分分析、因子分析、典型相关分析、分层聚类、GEE模型、偏最小二乘回归、结构方程模型。

参考资料来源：百度百科-SPSSAU

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